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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分)1.方程组12,6xyxy的解的个数为().(A)1(B)2(C)3(D)4答:(A).解:若x≥0,则12,6,xyxy于是6yy,显然不可能.若0x,则12,6,xyxy于是18yy,解得9y,进而求得3x.所以,原方程组的解为,9,3yx只有1个解.故选(A).2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是().(A)14(B)16(C)18(D)20答:(B).解:用枚举法:红球个数白球个数黑球个数种数52,3,4,53,2,1,0443,4,5,63,2,1,0434,5,6,73,2,1,0425,6,7,83,2,1,04所以,共16种.故选(B).3.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的().(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心答:(B).解:如图,连接BE,因为△ABC为锐角三角形,所以BAC,ABE均为锐角.又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,且DE为两圆的公共弦,所以BACABE.于是,2BECBACABEBAC.若△ABC的外心为1O,则12BOCBAC,所以,⊙O一定过△ABC的外心.故选(B).4.已知三个关于x的一元二次方程02cbxax,02acxbx,02baxcx恰有一个公共实数根,则222abcbccaab的值为().(A)0(B)1(C)2(D)3答:(D).解:设0x是它们的一个公共实数根,则0020cbxax,0020acxbx,0020baxcx.把上面三个式子相加,并整理得200()(1)0abcxx.因为22000131()024xxx,所以0abc.于是222333333()abcabcababbccaababcabc3()3abababc.故选(D).5.方程323652xxxyy的整数解(x,y)的个数是().(A)0(B)1(C)3(D)无穷多答:(A).(第3题答案图)解:原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2xxxxxyyy(),因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解.故选(A).二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.如图,在直角三角形ABC中,90ACB,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是.答:4.解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O的对称点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积,即△BOP面积的两倍.而1122222BPOSPOCO.因此,这两部分面积之差的绝对值是4.7.如图,点A,C都在函数33(0)yxx的图象上,点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为.答:(26,0).解:如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F.设OE=a,BF=b,则AE=3a,CF=3b,所以,点A,C的坐标为(a,3a),(2a+b,3b),所以2333,3(2)33,abab解得3,63,ab因此,点D的坐标为(26,0).(第6题答案图)(第7题答案图)8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数233yxax的图象与线段AB恰有一个交点,则a的取值范围是.答:1≤12a,或者323a.解:分两种情况:(Ⅰ)因为二次函数233yxax的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),所以032)3(231)3(122aa,得112a.由031)3(12a,得1a,此时11x,32x,符合题意;由032)3(22a,得12a,此时21x,232x,不符合题意.(Ⅱ)令2330xax,由判别式0,得323a.当323a时,123xx,不合题意;当323a时,123xx,符合题意.综上所述,a的取值范围是1≤12a,或者323a.9.如图,90ABCDEFGn,则n=.答:6.解:如图,设AF与BG相交于点Q,则AQGADG,于是ABCDEFGBCEFAQGBCEFBQF540690.所以,n=6.10.已知对于任意正整数n,都有312naaan,则23100111111aaa.(第9题答案图)答:33100.解:当n≥2时,有3121naaaann,3121(1)naaan,两式相减,得2331nann,所以),111(31)1(3111nnnnan,4,3,2n因此23100111111aaa11111111(1)()()323233991001133(1)3100100.三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11(A).已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线214yx上的一个动点.(1)判断以点P为圆心,PM为半径的圆与直线1y的位置关系;(2)设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:PNMQNM.解:(1)设点P的坐标为2001(,)4xx,则PM=2222220000111(1)(1)1444xxxx;又因为点P到直线1y的距离为220011(1)144xx,所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线1y相切.…………5分(2)如图,分别过点P,Q作直线1y的垂线,垂足分别为H,R.由(1)知,PH=PM,同理可得,QM=QR.(第11A题答案图)因为PH,MN,QR都垂直于直线1y,所以,PH∥MN∥QR,于是QMMPRNNH,所以QRPHRNHN,因此,Rt△PHN∽Rt△QRN.于是HNPRNQ,从而PNMQNM.…………15分12(A).已知a,b都是正整数,试问关于x的方程21()02xabxab是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.解:不妨设a≤b,且方程的两个整数根为12,xx(1x≤2x),则有1212,1(),2xxabxxab所以12121122xxxxabab,124(1)(1)(21)(21)5xxab.…………5分因为a,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,11x≥0,21x≥0,21a≥1,21b≥1,所以12(1)(1)0,(21)(21)5,xxab或.1)12)(12(,1)1)(121baxx((1)当12(1)(1)0,(21)(21)5xxab时,由于a,b都是正整数,且a≤b,可得a=1,b=3,此时,一元二次方程为2320xx,它的两个根为11x,22x.(2)当12(1)(1)1,(21)(21)1xxab时,可得a=1,b=1,此时,一元二次方程为210xx,它无整数解.综上所述,当且仅当a=1,b=3时,题设方程有整数解,且它的两个整数解为11x,22x.……………15分13(A).已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点.以点A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B相切.证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为,EF,则CE∥DF.因为AB是⊙O的直径,所以90ACBADB.在Rt△ABC和Rt△ABD中,由射影定理得22PAACAEAB,22PBBDBFAB.……………5分两式相减可得22PAPBABAEBF,又22()()PAPBPAPBPAPBABPAPB,于是有AEBFPAPB,即PAAEPBBF,所以PEPF,也就是说,点P是线段EF的中点.因此,MP是直角梯形CDFE的中位线,于是有MPAB,从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切.……………15分14(A).(1)是否存在正整数m,n,使得(2)(1)mmnn?(2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得()(1)mmknn?解:(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得(2)(1)mmnn,则22(1)1mnn,显然1n,于是2221(1)nnnn,所以,21nn不是平方数,矛盾.……………5分(第13A题答案图)(2)当3k时,若存在正整数m,n,满足(3)(1)mmnn,则2241244mmnn,22(23)(21)8mn,(2321)(2321)8mnmn,(1)(2)2mnmn,而22mn,故上式不可能成立.………………10分当k≥4时,若2kt(t是不小于2的整数)为偶数,取22,1mttnt,则2242()()()mmktttttt,2242(1)(1)nntttt,因此这样的(m,n)满足条件.若2kt+1(t是不小于2的整数)为奇数,取222,22ttttmn,则224321()(21)(22)224ttttmmkttttt,2243221(1)(22)224ttttnntttt,因此这样的(m,n)满足条件.综上所述,当3k时,答案是否定的;当k≥4时,答案是肯定的.……………15分注:当k≥4时,构造的例子不是唯一的.11(B).已知抛物线1C:234yxx和抛物线2C:234yxx相交于A,B两点.点P在抛物线1C上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线2C上,也位于点A和点B之间.(1)求线段AB的长;(2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值.解:(1)解方程组2234,34,yxxyxx得112,6,xy222,6,xy所以,点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6).于是22(22)(66)410AB.…………5分(2)如图,当PQ∥y轴时,设点P,Q的坐标分别为)43,(2ttt,)43,(2ttt,22t,因此PQ22(4)t≤8,当0t时等号成立,所以,PQ的长的最大值8.……………15分12(B).实数a,b,c满足a≤b≤c,且0abbcca,abc=1.求最大的实数k,使得不等式ab≥kc恒成立.解:当32ab,322c时,实数a,b,c满足题设条件,此时k≤4.……………5分下面证明:不等式ab≥
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