高三数学测试题—多面体和旋转体

高三数学测试题—多面体和旋转体一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心2．正三棱锥S—ABC的侧棱SA、SB、SC两两垂直，体积为V，A′、B′、C′分别是SA、SB、SC上的点，且SCCSSBBSSAAS41,31,21，则三棱锥S—A′B′C′的体积为（）A．V91B．V121C．V241D．V7213．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为（）A．16πB．8πC．16π或8πD．16π或32π5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为（）A．64B．68C．34D．386．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比为1∶2，则截面的面积为（）A．37B．73C．964D．387．圆锥的顶角为120°，高为a，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（）A．a2B．2a2C．23aD．4a28．若四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a2，则在它的五个面中，互相垂直的面共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对9．已知：圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于（）A．233B．23C．33D．4310．一个正四面体外切于球O1，同时内接于球O2，则球O1与球O2的体积之比为（）A．1∶27B．1∶66C．1∶8D．1∶3311．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1，3,2，则此三棱锥的外接球面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π12．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为1，P是侧棱BB1上的一点，则四棱锥P—ACC1A1的体积是（）A．31B．32C．41D．43二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．正四面体的棱长为a，对棱之距为b，则ba=.14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，直线l与平面△ABC在同一平面内，且过B点，l⊥AB，△ABC绕直线l旋转一周所得几何体的体积为.15．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为.16．圆台母线与底面成α角，半径为R的球内切于圆台，则球面被圆台分成的两部分面积之比是.三、解答题17．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，截面AEKH⊥SC.求证：E、H在以AK为直径的圆上.lA1B1C118．（本题满分12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.19．（本题满分12分）如图在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两互相垂直，E、F分别是AB、AC的中点.求平面BCD与平面EFD所成二面角的正切值.20．（本题满分12分）过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等.（Ⅰ）若∠APB=2α，求弦长：（Ⅱ）求三棱锥P—ABC体积的最大值.21．（本题满分12分）圆锥底面半径为R，母线与底面夹角为2α，第一个球与圆锥底面和侧面都相切，第二个球与第一个球和圆锥侧面都相切，如此继续下去，当这些球的个数无限增多时，求所有球的体积之和.22．（本题满分14分）正三棱台有一内切球，若内切球的面积与这棱台的全面积之比为32∶39，求棱台的侧面与底面所成角的大小.高三数学测试题参考答案F十一、多面体和旋转体一、1.A2.C3.C4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.A11.A12.B二、13．2；14．3320；15．V31；16．)cos1(:)cos1(三、17．（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，∴BC⊥侧面SAB，AE侧面SAB，∴AE⊥BC，又∵SC⊥截面AEKH.∴AE⊥SC，∴AE⊥侧面SBC，∴AE⊥KE，同理AH⊥HK.∴A、E、K、H四点共同，且AK是圆的直径.18．解：如图，过B作BM⊥AA1，垂足为M，连结CM.∵侧棱AA1和AB、AC都成45°，∴△AMB≌△CMA，∴CM⊥AA1，于是截面MBC是斜三棱柱的直截面.由已知aCMBM22.∴斜棱柱的侧面积.41.)12()222(2baVabbaaS体积侧19．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥底面BCD.设平面EFD∩平面BCD=l，取EF、BC的中点分别为M、N，连结DM、DN.∵AB=AC=AD=2a，且AB、AC、AD两两重直，∴BC=CD=BD=a22，DE=DF=a5，且DM⊥EF，DN⊥BC.又∵EF∥BC∥l，∴DM⊥l，DN⊥l.∴∠MDN就是平面BCD与平面EFD所成二面角的平面角.在△MND中，aaaFMDFDM2232152222，aBCDN623.连结AN，则AN必过M且.2221aANMN.3352cos222DNDMMNDNDMMDN.52MDNtg20．（1）如图（见题图），由PA=PB=PC，且∠APB=∠BPC=∠CPA，知三棱锥P—ABC是一个正三棱锥，作其高PO′则O′为正△ABC的中心，显然球心O也在PO′所在的直线上.设,..sin2,2,,OPOBmABAPBmPBhOP且sin23333mABOB又222222)sin332(,mhmPBOOBO即①又∵过PO′与PB的平面截球的截面为球的大圆，延长PO′交球面于Q，则PB⊥BQ..2,22RhmPQOPPB即②把②代入①消去h，整理得224224sin34mRmm，).sin43(34)sin341(422222RRm.sin433322Rm此即为所求的弦PA、PB、PC的长.（2）22433)3(43,,31nnSnOBhSVABCABCABCP则设，hhRhhnVABCP)2(43432332738)324(83)24(83RhRhhhhRh当且仅当hRh24即Rh34时取等号.∴当圆锥的高等于R34时，其体积取得最大值32738R21．解：作出满足题条件的轴截面图形（如图），圆锥的高SO通过球心O1、O2、O3…，设它们与圆锥侧面相切的切点分别是E、F、G….球的半径分别是r1、r2、r3….于是便有：r1=Rtgα，在Rt△SO2F中，r2=SO2cos2α，又∵SO2=SO－OO2=Rtg2α－2r1－r2，∴r2=（R·tg2α－2Rtgα－r2）·cos2α，∴r2=Rtg3α.同理r3=Rtg5α…∴63315933134)(34tgtgRtgtgtgRV.)1(34633tgtgR22．解：如图，球O内切于三棱台ABC—A1B1C1，O1、O2为棱台上下底面中心，O1、O、O2三点共线，过A1A、O1O作截面交B1C1BC于D1、D，则球的大圆O切AD、D1D、A1D1于O2、E，O1，设棱台上、下底面边长分为3a、3b，则O1D1=2)3(63aa，2)3(632bbDO，).(212111baDODODD过D1作D1F⊥O2D于F，则)(21abDFababbaDFDDFDOO22221121)(41)(41设棱台的侧面与底面所成的角为α，则.sin4)(.)(4sin,2sin222211abbabaabbaabDDFDababOOS2221)2(4)2(4球.)33(43)(21)33(21322bababaS棱台全]2)(2[433)]()[(4332222abbababa)1sin4(233]sin4[23322ababab.3932sinsin4233.sinsin42332222ababSSab棱台全球21题图22题图13sinsin4322，由此解得60.23sin,900.43sin2.即棱台的侧面与底面所成的角为60°