高二数学同步测试—球(5)

高中学生学科素质训练高二数学同步测试—球（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．球的体积是332π，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC．316πD．364π3．下列四个命题中，其中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；③球的面积是它大圆面积的四倍；④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长。A．0B．1C．2D．34．球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（）A．34B．32C．2D．35．球的体积是332π，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC．316πD．364π6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．33D．6π7．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V，表面积之和为甲S；一个直径为a的球，记其体积为乙V，表面积为乙S，则（）A．甲V乙V且甲S乙SB．甲V乙V且甲S乙SC．甲V=乙V且甲S乙SD．甲V=乙V且甲S=乙S8．设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为cosR，则A,B两地之间的球面距离为（）A．RB．sinRC．RD．2R9．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A．34cmB．163cmC．43cmD．31cm10．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个B．2个C．3个D．4个11．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）A．5400海里B．2700海里C．4800海里D．3600海里12．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A．1∶2∶3B．1∶2∶3C．1∶34∶39D．1∶22∶33二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为.15．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR．16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为三、解答题：本大题满分74分．17．(12分)在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．18．（12分）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．19．（12分）A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB=30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积。20．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积圆柱正方体球，，SSS的大小关系。21．（12分）球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上，A与B,A与C的球面距离都为R2，B与C的球面距离为R3，求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。22．（14分）同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为.,21求：（1）侧面积的比；（2）体积的比；（3）角21的最大值。（五）一、选择题：1．D2．B3．C4．B5．B6．A7．C8．D9．D10．C11．D12．B1解：据多面体的概念选D6解：已该正四面体的六条棱为面对角线的正方体的棱长为1，这里的正四面体与正方体的外接球相同，故其外接球的直径为3，其表面积为3。选A．7解：甲V=,61214346433aa甲S=224214464aa．乙V=33612134aa,乙S=.21422aa∴甲V=乙V,甲S乙S．选C．8．解：设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则Rcos=cosR,∴=,即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=2,∴A,B两地之间的球面距离为2R．答案：D9．解：球的体积等于水下降的体积即34h2321，31h。答案：D一、填空题13．3214．3215．33216．13cm．16．解设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2．得R＝13∴该球半径为13cm．一、解答题17．解：由题意知，光线与地面成60°角(2分)，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′（6分），则Scos30°＝S′（9分）,并且S′＝9π，所以S＝63π(米2)……12分18．(2+362)R解：将四个球心两两连结（2分），构成一个棱长为2R的正四面体.OOOO4321（4分）设底面正三角形432OOO的中心为H,则,R3323223R2HO2（8分）.R362R332R2HO221（10分）故上层小球最高处离桌面的距离为.R3622（12分）19．解：42720．[S球S柱S正方体]解：设球的半径为R、正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,（2分）则:V=333r2aR34,（5分）,4V3R3,Va332Vr．（8分）32323232V636V6S,V364V34S正表球表323232V542V222V2S圆柱表,（10分）正方体表圆柱表球表SSS．（12分）21．解：A与B,A与C的球面距离都为R2，（2分）2AOCAOB，（6分）BOC为二面角B-AO-C的平面角，（8分）又B与C的球面距离为R3，BOC=3，（10分）球O夹在二面角B-AO-C的体积是球的六分之一即为.R923（12分）22．解：（1）设O为球心，1O为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q,取BC的中点D,则,BCAD,BCPD1PDO是侧面与底面所成二面角的平面角，（1分）1PDO1，同理1QDO=2（2分）。,cosDOPD1121cosDOQD，.cosDOBCPDBC3S112321ABCP侧212321ABCQcosDOBCQDBC3S侧．（4分）侧ABCPS:侧ABCQS=12cos:cos．（5分）(2)211111tanDOQO,tanDOPO,（7分）这两个三棱锥的底都是三角形ABC，.tan:tanQO:POV:V2111ABCQABCP（9分）（3）设ABC边长为a,hOO1,则,DOhRDOPOtan1111,DOhRDOQOtan1112（11分）而,a63a2331AD31DO1.a33AD32AO1,a31AOhR22122（12分）12121221212121DO3aDOR2DOhR1DOR2tantan1tantantan.0a3R34（13分）,221当平面ABC通过球心O时，a最大为3R时，)tan(21取最大值34，这时21也最大，最大值为34arctan.（14分）