高考专题训练专题复习——直线与圆锥曲线人教版

专题复习——直线与圆锥曲线一.本周教学内容：专题复习——直线与圆锥曲线（一）知识与方法要点：直线与圆锥曲线的关系问题是平面解析几何中的重要问题，一方面它能很好地把有关直线方程的知识和圆锥曲线方程的知识综合起来；另一方面，其中蕴藏了丰富的思想方法，是历年高考试题中的常考常新的内容，从而也就成为高三总复习的着力点常见的问题有：1.直线与圆锥曲线位置关系的研究。包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。2.直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。基本的思想方法：1.直线与圆锥曲线的位置关系是由它们的方程组成的方程组的解的情形来确定的，因此要学会利用对方程组的解的情况的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。反之亦然，这种思考方法就是解析几何的坐标法。2.分析直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意对称性的应用和数形结合思想的应用，以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。3.直线l：y=kx+b与圆锥曲线C：F（x，y）=0相交所得弦长的计算方法（公式）：设l与曲线C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则2212212211)()(||yyxxABbkxybkxy，从而弦长，2212221221))(1()()(xxkkxkxxx]4))[(1(212212xxxxk如此以来，便与一元二次方程f(x)=0的根与系数的关系公式建立了联系，自然地，就需联立直线l与曲线C的方程，消元，化出关于x的一元二次方程。（注意，该方程的两个实根恰为A，B两点的横坐标x1，x2）【典型例题】例1.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程。15分析：依题意可知抛物线的开口或向左或向右，而标准方程中均有p0，为了统一起见，不妨设出抛物线方程的统一形式：y2=2mx(m∈R，且m≠0)，再根据弦长为即可的方程，求，列出关于mm15解：设所求抛物线方程为y2=2mx(m∈R且m≠0)，另设l与该抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），01)24(421222xmxmxyxy一方面，因l与抛物线相交于两点，故Δ=(4－2m)2－160，解得m0或m441222121xxmxx，，另一方面，由韦达定理由弦长公式，得×||()[()]ABm1512224142解得m=－2或m=6，显然均满足题意。故所求抛物线的方程为y2=－4x或y2=12x。注：本例中体现了方程的思想方法，即为了求抛物线，先设出其方程，然后利用已知条件待定所设的参数m，把问题转化为解关于m的方程。例2.设过原点的直线l与抛物线y2=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，（1）求直线l的方程；（2）求|AB|的长。分析：（1）欲求l的方程，只需待定其斜率k，为此就需寻求等量关系，以便列出关于k的方程。由已知条件，发现：AF⊥BF，从而得到等量关系kAF·kBF=－1，从而k可求（2）一旦直线l确定，则求弦长|AB|迎刃而解。解：（1）设直线l的方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）044)1(4222xxkxykxy显然k=0时，l与x轴重合，不合题意，故k≠0，从而有①，22122144kxxkxx又由已知条件，得AF⊥BF，∴kAF·kBF=－1，又F（2，0）0)2)(2(120·2021212211xxyyxyxy，化简得而y1=kx1，y2=kx2，代入上式，整理，得②04)(22121212xxxxxxk220484·)1(222kkkk，解得把①代入②，得。的方程为所求直线xyl228821)1()2(21212xxxxk，，从而知由34]848)[211(]4))[(1(||2212212xxxxkAB弦长例3.已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上，其右焦点到直线，的距离为3022yx（1）求椭圆方程；（2）椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。分析：)0(1)1(2222babyax所求椭圆的方程为根据已知条件，可断定”，的距离为“右焦点到直线∶，故只需根据条件且30221yxb来待定出a即可。（2）由椭圆与直线相交于不同两点，可得知由它们的方程联立消元所得的一元二次方程有两个不等实根，从而有Δ=f(m，k)0；另一方面，又由|AM|=|AN|，可得点A在线段MN的垂直平分线上，设MN中点为P，则有MN⊥AP，从而kMN·kAP=－1，即g(m，k)=0，只需联立f(m，k)0及g(m，k)=0消去k，解关于m的不等式即可，求得m的取值范围。解：)0(1)1(2222babyax程为根据题意，可设椭圆方而b=1，右焦点设为F（c，0），)0(32|22|cc由已知，得32ac，从而解得。所求椭圆方程为1322yx（2）设P为线段MN中点，由|AM|=|AN|得MN⊥AP，从而kMN·kAP=－1①22)()(21212211yyyxxxyxNyxMPP，，则，，，设0)1(36)13(1322222mmkxxkyxmkxy②，化简得一方面，130)1(3)13(4)6(22222kmmkmk13·13313622221kmmxkykmkxkmkxxPPP，，从而另一方面，又，及①，得·，把，代入，整理，得AkyxxyPPPP()()0111③1322km由②③，消去k2，得m22m，解得0m2。2212103122mmmk可见，解得又注意到例4.直线m：y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。分析：本题的目标是求参数b的取值范围，与例3中第（2）问，在方法上相同，一方面，由直线m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式，Δ=f(k，b)0，但应注意A、B两点的横坐标xA，xB均小于0；另一方面，由直线l过P及AB中点，又可得到关于k，b的等量关系g(k，b)=0，联立f(k，b)0及g(k，b)=0，可求b的取值范围。解：022)1(112222kxxkyxkxy设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则由题意，得210)1(84012·01222221221kkkkxxkkxx)111(11112222002210kkkMkkxykkxxx，，即，又221)2(1011222kkkkkklPM的斜率为直线)2(2212xkkyl的方程为直线)21(22202，，轴上的截距为在，得直线令kkkbylx注：求b的取值范围，即求以k为自变量的函数b=f(k)的值域。上为减函数，在函数)21(817)41(222)(22xkkkg∴，且≠ggkggk()()()()2100)(1)(22kgkg，即即12)(2222)(2kgkg或222bb或即例5.从双曲线的右焦点引直线，使其与一条渐近线垂直相xyFll2218161交于A，与另一渐近线l2交于点B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。分析：本题的一般思路为：设出l的点斜式方程→分别与l1，l2的方程联立，表出A，B坐标→求出AB中点M的坐标，→验证点M在双曲线的左准线上。事实上，由于，为此需把，求出的值即可，而不必分别，只需求出BABABAMxxxxxxx2的的方程联立，可得关于，与∶统一形式两条渐近线方程合并成xlyx016822一元二次方程，利用韦达定理，可得xA+xB，进而可求得xM。解法一：（求A，B交点坐标）xylxylF22)062(21∶，∶，设，由已知得∵l⊥l2)62(22)62(210xyxyl，即的方程为)334362()62(222，解得由Axyxy)3462()62(222，解得由Bxyxy)338362(，的坐标为的中点MAB3622cax为而双曲线的左准线方程经验证，M在左准线上，故线段AB被双曲线的左准线平分。解法2：)062(，由已知F211的斜率为而，lll联立，与双曲线的渐近线方程的方程为直线0168)62(2222yxxyl0246432xxy，得消364)()(212211xxyxByxA，则由韦达定理，得，，，设362221xxxMABM的横坐标为中点从而3622cax左准线方程为又∴AB的中点M在左准线上，即线段AB被双曲线的左准线平分。例6.对称的两点，∶上存在关于直线∶已知椭圆mxylyxC214922试求m的取值范围。分析：“两点A、B关于直线l对称”，意味着①直线AB与椭圆有两个不同交点；②直线AB⊥l；③线段AB的中点在l上，逐一把这些几何关系化为代数的等式或不等式，即可达到求m的取值范围的目的。解：设在椭圆上A、B两点关于直线l对称，则依题意，直线AB方程可设为nxy2103699425149212222nnxxyxnxy，，则，，，设2536)()(212211nxxyxByxA)25162518(nnMAB，的坐标为中点从而∵点M在l上mnn251822516①整理，得mn45又直线AB与椭圆相交于A、B两点，0)369(4254)9(22nn则②化简，得4252n。，解不等式，得①代入②，得2242mm【模拟试题】1.设抛物线xy42截直线kxy2所得弦长为53，（1）求k的值；（2）以（1）中所得弦长为底边长，以x轴上P点为顶点的三角形的面积为9时，求点P的坐标。2.若抛物线12axy上总存在关于直线l：0yx对称的点，求a的取值范围。3.已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积为10时，求k的值。4.已知椭圆以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、到右焦点、到右准线的距离依次成等差数列，若直线l与椭圆相交于A、B两点，且AB中点M（－2，1），且34||AB，求直线l和椭圆的方程。【试题答案】1.（1）k=－4；（2）P（－1，0）或P（5，0）2.)43(，a3.（1）继证kOA·kOB=－1；（2）61k4.l方程为3xy；椭圆方程为1122422yx。