高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学57

高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学57本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP，如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP。柱体（棱柱、圆柱）的体积公式ShV柱体其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合6,5,4,3,2,1P，62xRxQ，那么下列结论正确的是（A）PQP（B）QQP（C）QQP（D）QPP（2）不等式21xx的解集为（A）]0,1[（B）),1[（C）]1,(（D）),0(]1,(（3）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（A）“bcac”是“ba”的必要条件（B）“bcac”是“ba”的必要条件（C）“bcac”是“ba”的充分条件（D）“bcac”是“ba”的充分条件（4）若平面向量b与向量a)2,1(的夹角是180，且53b，则b（A）)6,3(（B）)6,3(（C）)3,6(（D）)3,6(（5）设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点。若31PF，则2PF（A）1或5（B）6（C）7（D）9（6）若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a（A）42（B）22（C）41（D）21（7）若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（A）50k（B）05k（C）130k（D）50k（8）如图，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且ACPC。那么，动点C在平面内的轨迹是αACBP（A）一条线段，但要去掉两个点（B）一个圆，但要去掉两个点（C）一个椭圆，但要去掉两个点（D）半圆，但要去掉两个点（9）函数)01(31xyx的反函数是（A）)0(log13xxy（B）)0(log13xxy（C）)31(log13xxy（D）)31(log13xxy（10）函数)26sin(2xy]),0[(x为增函数的区间是（A）]3,0[（B）]127,12[（C）]65,3[（D）],65[（11）如图，在长方体1111DCBAABCD中，6AB，4AD，31AA。分别过BC、11DA的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFDAEAVV，11112DFCFAEBEVV，CFCBEBVV11113。若1:4:1::321VVV，则截面11EFDA的面积为AA1D1F1C1CBEDFE1B1（A）104（B）38（C）134（D）16（12）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数。若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为（A）21（B）21（C）23（D）23普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分171819202122得分二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品。产品数量之比依次为5:3:2。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n。（14）已知向量)1,1(a，)3,2(b，若bak2与a垂直，则实数k等于。（15）如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是。（16）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有个。（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知21)4tan(（1）求tan的值；（2）求2cos1cos2sin2的值。（18）（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；（3）求所选3人中至少有1名女生的概率。（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD，E是PC的中点。（1）证明//PA平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ADCBEP（20）（本小题满分12分）设na是一个公差为)0(dd的等差数列，它的前10项和11010S且1a，2a，4a成等比数列。（1）证明da1；（2）求公差d的值和数列na的通项公式。（21）（本小题满分12分）已知函数)0()(3adcxaxxf是R上的奇函数，当1x时)(xf取得极值2。（1）求)(xf的单调区间和极大值；（2）证明对任意1x，)1,1(2x，不等式4)()(21xfxf恒成立。（22）（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点)0,(cF)0(c的准线l与x轴相交于点A，FAOF2，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OQOP，求直线PQ的方程。2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。1.D2.A3.B4.A5.C6.A7.A8.B9.D10.C11.C12.D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。13.8014.115.)413,(16.36三.解答题17.本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（1）解：)4tan(tan1tan1tan4tan1tan4tan由21)4tan(，有21tan1tan1解得31tan（2）解法一：1cos21coscossin22cos1cos2sin222cos2cossin265213121tan解法二：由（1），31tan，得cos31sin∴22cos91sin22cos91cos1∴109cos2于是541cos22cos253cos32cossin22sin2代入得65541109532cos1cos2sin218.本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：所选3人都是男生的概率为513634CC（2）解：所选3人中恰有1名女生的概率为53362412CCC（3）解：所选3人中至少有1名女生的概率为543614222412CCCCC19.本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点。在PAC中，EO是中位线∴EOPA//而EO平面EDB且/PA平面EDB，所以，//PA平面EDB。（2）解：作DCEF交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为a。∵PD底面ABCD∴DCPD∴PDEF//F为DC的中点∴EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。在BCFRt中，aaaCFBCBF25)2(2222∵221aPDEF∴在EFBRt中55252tanaaBFEFEBF所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为55PEBCDAFO方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设aDC（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得)0,0,(aA，),0,0(aP，)2,2,0(aaE∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为)0,2,2(aa∴),0,(aPA)2,0,2(aaEG∴EGPA2这表明EGPA//而EG平面EDB且/PA平面EDB∴//PA平面EDB（2）解：依题意得)0,,(aaB，)0,,0(aC取DC的中点)0,2,0(aF连结EF，BF∵)2,0,0(aFE，)0,2,(aaFB，)0,,0(aDC∴0FBFE，0DCFE∴FBFE，DCFE∴EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。在EFBRt中，2aFE，aaaFB25)2(22∴55252tanaaFBFEEBF所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为55。PEBCDAFGzyx20.本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，满分12分。（1）证明：因1a，2a，4a成等比数列，故4122aaa而na是等差数列，有daa12，daa314于是21)(da)3(11daa即daaddaa121212132化简得da1（2）解：由条件11010S和daS291010110，得到11045101da由（1），da1，代入上式得11055d故2d，ndnaan2)1(1因此，数列na的通项公式为nan2，,3,2,1n。21.本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分。（1）解：由奇函数的定义，应有)()(xfxf，Rx即dcxaxdcxax33∴0d因此，cxaxxf3)(caxxf23)(由条件2)1(f为)(xf的极值，必有0)1(f，故032caca解得1a，3c因此，xxxf3)(3，)1)(1(333)(2xxxxf0)1()1(ff当)1,(x时，0)(xf，故)(xf在单调区间)1,(上是增函数当)1,1(x时，0)(xf，故)(xf在单调区间)1,1(上是减函数当),1(x时，0)(xf，故)(xf在单调区间),1(上是增函数所以，)(xf在1x处取得极大值，极大值为2)1(f（2）解：由（1）知，xxxf3)(3)]1,1[(x是减函数，且)(xf在]1,1[上的最大值2)1(fM)(xf在]1,1[上的最小值2)1(fm所以，对任意的1x，)1,1(2x，恒有4)2(2)()(21mMxfxf22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力，满分14分。（1）解：由题意，可设椭圆的方程为12222yax)2(a由已知得)(22222cca