人教版九年级数学下册第26章反比例函数专项训练含答案

第26章反比例函数专项训练专训1用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．反比例函数的比例系数k与面积的关系1．如图，点P在反比例函数y＝3x(x＞0)的图象上，横坐标为3，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则矩形OMPN的面积为()A．1B．2C．3D．4(第1题)(第2题)2．如图，P是反比例函数y＝kx的图象上一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为()A．y＝－6xB．y＝6xC．y＝－3xD．y＝3x3．如图，A，C是函数y＝1x的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1和S2的大小关系不能确定(第3题)(第4题)4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为()A．1B．2C．3D．45．如图，函数y＝－x与函数y＝－4x的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为()A．2B．4C．6D．8(第5题)(第6题)6．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝kx经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD＝________．已知面积求反比例函数解析式题型1：已知三角形面积求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，若S△AOB＝4.(1)求该反比例函数的解析式和直线AB对应的函数解析式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(第7题)题型2：已知四边形面积求解析式8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝kx在第二象限的图象的交点，B，D两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的解析式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．(第8题)已知反比例函数解析式求图形的面积题型1：利用解析式求面积9．如图，已知反比例函数y＝k1x与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝k1x的图象上的两点，且x1x2，y1y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．(第9题)题型2：利用对称性求面积10．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y＝－6x，y＝6x.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱?(第10题)题型3：利用点的坐标及面积公式求面积11．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x(x＜0)的图象相交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的解析式；(2)求△AOC的面积．(第11题)专训2巧用根的判别式解图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况，用判别式来辅助计算．判别式大于0，则有两个公共点；判别式等于0，则有一个公共点；判别式小于0，则没有公共点．无公共点(Δ＜0)1．关于x的反比例函数y＝a＋4x的图象如图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0的根的情况是______________．(第1题)2．若反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有公共点，则k的取值范围是________．有唯一公共点(Δ＝0)3．如图，将直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位后，恰好与双曲线y＝mx(x＜0)有唯一公共点A，并交双曲线y＝nx(x＞0)于B点，若y轴平分△AOB的面积，求n的值．(第3题)有两个公共点(Δ＞0)4．如图，已知一次函数y＝－x＋8和反比例函数y＝kx(k≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)若△AOB的面积为24，求k的值．(第4题)有公共点(Δ≥0)(第5题)5．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．6．如图，过点C(1，2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于点A，B，若反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与△ABC有公共点，求k的取值范围．(第6题)答案专训11．C2.A3.C4.A5．D点拨：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝12×|－4|＝2.因为OC＝OD，AC＝BD(易求得)，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四边形ACBD的面积为S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.6．6(第7题)7．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵S△AOB＝12OA·BD＝12×2n＝4，∴n＝4.∴B(2，4)．∴反比例函数解析式为y＝8x.设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，由题意得－2k＋b＝0，2k＋b＝4，解得k＝1，b＝2.∴直线AB对应的函数解析式为y＝x＋2.(2)当x＝0时，y＝0＋2＝2，∴C(0，2)．∴S△OCB＝S△AOB－S△AOC＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k＝－3.∴反比例函数的解析式为y＝－3x，一次函数的解析式为y＝－x＋2.(2)由y＝－3x，y＝－x＋2，解得x1＝－1，y1＝3，x2＝3，y2＝－1.∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则M的坐标为(0，2)．∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝12×PM×(|－1|＋|3|)＝5，∴PM＝52，即|m－2|＝52.∴m＝92或m＝－12.∴点P的坐标为0，92或0，－12.点拨：依据图象及已知条件求k的值是解本题的关键，只有求出k的值，才能通过解方程组求A，C两点的坐标，然后才能解决第(3)问．9．解：(1)把A(1，8)的坐标代入y＝k1x，得k1＝8.把B(－4，m)的坐标代入y＝8x，得m＝－2.把A(1，8)，B(－4，－2)的坐标代入y＝k2x＋b，可得k2＝2，b＝6.(2)设直线AB与x轴的交点为C，当y＝0时，2x＋6＝0，解得x＝－3.∴C(－3，0)．∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×3×8＋12×3×2＝15.(3)点M在第三象限，点N在第一象限．理由：∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝8x的图象上，∴当M(x1，y1)，N(x2，y2)在同一象限时，x1x2，则y1y2.∵x1x2，y1y2，∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限．∴点M在第三象限，点N在第一象限．10．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝6x的图象上的一点，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．答：所需钢条一共花600元．11．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数y＝k2x的图象上，∴k2＝－8.∴反比例函数的解析式为y＝－8x.(2)∵B点的横坐标为－4，∴其纵坐标为2.∴B(－4，2)．∵点A(－2，4)，B(－4，2)在直线y＝k1x＋b上，∴4＝－2k1＋b，2＝－4k1＋b，解得k1＝1，b＝6.∴直线AB对应的函数解析式为y＝x＋6，与x轴的交点为C(－6，0)．∴S△AOC＝12×6×4＝12.专训21．没有实数根2．k＜－1点拨：∵反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有公共点，∴y＝kx，y＝x＋2无解，即kx＝x＋2无解．整理得x2＋2x－k＝0，∴Δ＝4＋4k＜0.解得k＜－1.3．解：直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位后可得直线y＝x＋4，由题意可得y＝x＋4，y＝mx只有一组解．整理得x2＋4x－m＝0.∴Δ＝42－4·(－m)＝0，解得m＝－4.∴反比例函数y＝mx的解析式是y＝－4x.将m＝－4代入x2＋4x－m＝0中，解得x1＝x2＝－2，∴A点坐标为(－2，2)．∵直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位后与双曲线y＝nx(x＞0)交于B点且y轴平分△AOB的面积，∴B点坐标为(2，6)．∴6＝n2.∴n＝12.4．解：(1)∵一次函数与反比例函数的图象有两个公共点，∴y＝－x＋8，y＝kx有两组解，整理得x2－8x＋k＝0.∴Δ＝82－4k＞0，解得k＜16.易知k＞0，∴0＜k＜16.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，令一次函数y＝－x＋8中x＝0，得y＝8，故OC＝8.∴S△COB＝12OC·x2，S△COA＝12OC·x1.∴S△AOB＝S△COB－S△COA＝12OC·(x2－x1)＝24.∴24＝4(x2－x1)．∴(x2－x1)2＝36.∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36.由(1)x2－8x＋k＝0得，x1＋x2＝8，x1x2＝k，∴64－4k＝36.∴k＝7.5.3≤a≤3＋16．解：当点C(1，2)在反比例函数y＝kx的图象上时，k＝2.由kx＝－x＋6，得x2－6x＋k＝0，当(－6)2－4k＝0，即k＝9时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB上.因此反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与△ABC有公共点时，k的取值范围是2≤k≤9.