专训2 构造全等三角形的五种常用方法

专训2构造全等三角形的五种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第1题)构造法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.21cnjy.com求证：∠ADC＝∠BDF.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21教育网(第3题)倍长中线法4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．(第4题)截长(补短)法5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．(第5题)答案1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)21世纪教育网版权所有∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB＝90°，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第1题)2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.(第2题)点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，AB＝AD，∠ABH＝∠ADF＝90°，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，AH＝AF，AE＝AE，EH＝EF，∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.(第3题)点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.4．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD.(2)解：∵AB－BEAEAB＋BE，∴AB－AC2ADAB＋AC.∵AB＝5，AC＝3，∴22AD8.∴1AD4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．5．解：EF＝BE＋FD.证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.(第5题)∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°.在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∴∠DAG＋∠FAD＝60°，即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°.在△EAF与△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.∴EF＝FD＋BE.点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．21·cn·jy·com