3差分方程Z变换

第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A递推解B古典解CZ变换求解Z变换3.2.1Z变换的定义3.2.2Z变换的性质3.2.3Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应Z传递函数及其求法3.4.1Z传递函数的定义3.4.2离散系统的运算3.4.3由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法第3章线性离散系统的描述及分析3.1差分方程及其时域分析3.1.1差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)nnmmnyknayknaykaykbukmbukmbukbukkyyyyynymn有始性:初始条件:时间因果律:或写成minjjijnkyaimkubnky01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,bmn）以及此前若干个输入和输出值有关。推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m≤n。当m=n时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；当mn时，表明当前时刻的输入不会直接影响当前时刻的输出；当前时刻的输入对输出的影响会延时“n-m”拍。差分方程也可以写成降序方式——式中各项序号均减n121011()(1)(2)(1)()()(1)(1)()nnmmykaykaykayknayknbukbukbukmbukm在降序方式中的n和m与升序方式中的n和m的含义不完全相同，因而对n和m并无限制。在降序方式中，当b0≠0时，相当于升序方式中m=n的情况。此时“当前时刻的响应与当前时刻的输入有关”。升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件。降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。3.1.2差分方程的解例：已知差分方程51(2)(1)()(+1)+0.5()66xkxkxkrkrk，其中r(k)=1，k≥0，x(0)=1，x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项；分别由古典法求其零输入解yzi(k)、零状态解yzs(k)，以及全解y(k)。给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u(k)和初始条件，来求得其输出序列y(k)，一般有三种方法。A.递推解（迭代解）对式差分方程可以写成minjjijnkyaimkubnky01)()()(显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。但是，式差分方程中的n个初始条件x(0)，x(10)，…x(n-1)仅仅是指“零输入初始条件”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。上例……已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解yzi(k)；可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解yzs(k)；以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B.古典解法1)零输入解在式中令输入为零，即u(k)=0，k≥0，则得齐次方程01...111)()()()(kyakyankyankynn类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p，对差分方程定义一个移序（增序）算子d，即)()()()(nkykydnkykydnn于是式可以表示成111()()()()0nnnndad...adaykAdyk＋以多项式A(d)存在n个单根为例，即1()0,1,2,...,niiiAddddin，，则有零输入解yzi(k)的“通解”式为zi11221(),nkkkknniiiykCdCd...CdCdk0其中C1,C2,...,Cn是由n个（另输入）初始条件决定的n个待定常数。设给定初始条件为y(i)=yi，i=0，1…，n-1，分别代人上式可得102112222212111112111nn3nnnnnnCy...Cydd...dydd...dC..................ydd...dC可简记为矩阵方式0*YDC以n个单根为例，矩阵D一定可逆。于是可得待定常数为10CDY当A(d)存在重根时，亦可得相应结果，不再赘述。上例……求得零输入解yzi(k)。2)零状态解当“零输入初始状态”为零时，为求得式在任意输入u(k)激励下的“零状态响应”yzs(k)，首先考虑单位脉冲激励u(k)=(k)的特殊情况，此时的系统响应为单位脉冲响应，记为h(k)，式成为11011()(1)(1)()()(1)(1)()nnmmhknahknahkahkbkmbkmbkbk可写成如下形式00()()(),mnijijhknbkmiahknjmn上式中依次令k=-n，-n+1，…，-2，-1，0，可求得前面n+1个点的结果，011(0)(1)(1)()nnhhhhhnhhnh，当mn时，h(0)=h0=0当k0时，在式中恒有k+m-i0，即恒有(k+m-i)=0，此时式又成为一个齐次方程，等价为1112()(1)(1)()0,0(1),(2),,()nnnhknahknahkahkkhhhhhnh上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑h(0)=0，即可得到式的单位脉冲响应序列h(k)，k≥0。对于一个一般的输入序列u(k)={u(0)，u(1)，u(2)，……}，可以写成0()()()(0)()(1)(1)iukuikiukuk按照线性系统的迭加原理，(k-1)所激励的响应为h(k-i)1(k-i)，i=0，1，…，于是可得u(k)激励下的响应为00()(0)()1()(1)(1)1(1)()(0)()()()()=()(),0kkiiykuhkkuhkkukhuihkiukihiukhkk称为()uk和()hk的“卷和”。显然，卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式。卷和计算例……上例……求得零状态解yzsi(k)。3)全解1)和2)二者之和。上例……y(k)=yzi(k)+yzs(k)。C.Z变换解法——后面再讲3.2Z变换3.2.1Z变换的定义Z变换是对离散序列定义的，设有()(0),(1),(0)()(1)(1)(2)(2),0ykyyykykykk则()yk的Z变换定义为（单边）罗朗级数10()(0)(1)()iiYzyyz...yizz——Z变换域变量d——增序算子两者在数字上具有完全相同的表现形式，但意义却不同，不能混淆。就像s——S变换域（拉氏变换）变量p——微分算子二者表现形式相同，但意义截然不同为什么要定义Z变换Z变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式；L变换把连续时间信号变换成有理分式；——便于利用代数学的某些结论进行简单处理。Z变换的另一种“定义”对于时域信号y(t)=f(t)，采样得离散信号y*(t)——记得第1章中讨论过y*(t)和y*(k)的（冲量的）等价性，0*)()()2()2()()()()0()(kkTtkTfTTTfTtTftftf取其拉氏变换，得0)()](*[)(*kkTsekTftfLsF再令Tsez！！即得，0)()](*[)(kkzkTftfZzF二者的结果是一致的。但是，二者有两点区别，①前者是对y(k)定义的，后者是对y*(t)定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于首先熟悉了Laplace变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。②前者在数学上是严格的；而后者中的式容易使得误解z和s之间的关系。实时上z和s之间并没有式所示的关系，仅仅是有时同一个被控对象的Z变换传递函数和L变换传递函数的特征根具有那个关系。3.2.2Z变换的性质A.在简单的情况下，可直接按定义求得y(k)的Z变换Y(z)。0()()1iiZkiz10011()1()11iiiizZkizzzz1001()1kTiTiTiTTiizZeezezzeez做为线性离散系统的Z变换，它有许多与L变换类似的性质，不同的是按照Z变换的定义，这些性质更容易被证明一些。B.线性迭加性质：已知1122[()](),[()](),,ZfkFzZfkFzabR，下同。按定义可得，1211212[()()][()][2()][()][()]()()ZafkbfkZafkZbfkaZfkbZfkaFzbFzC.增序性质：（对应于L变换的微分性质）设g(k)=f(k+n)，k≥0，为什么()00110010012[()][()]()()()()(()())()()()(0)(1)(2)(1)kk0jjnnjjnnininininiinniniiinnnZfkn=Zgkgkz=fjnzfjnzzfizzfizzfizzzfizfizzFzzfzf...zfnzfn（令i=j+n）注意两点：一是为什么要减去前面几项因为按照定义g(k)中没有这几项！二是与L变换的微分性质相比，…形式上多了一个“z”。D.减序性质：（对应于L变换的积分性质）设g(k)=f(k-n)，k≥0，为什么()0010[()]()()()()()ininiinjnjjnjnZfknfinzzfinzzfjzzfjzzFz（令i-n=j）为什么第一项没啦因为按照定义f(k)中的这几项为零！E.卷和性质：（对应于L变换的卷积性质）1212[()*()]()()ZfhfhFzFzF.初值性质：0(0)lim()lim()kzffkFz证明：——按照Z变换的定义。G.终值性质：-111()lim()lim(1)()lim(1)()kzzffkzFzzFz当f(k)不收敛（F(z)中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！证明：0(1)()[()(0)]()(1)()(0)(1)()[(1)()]iiZfk+-fkzFzfFzz-FzzfZfk+-fkfi+-fiz同令z→1得，1lim(1)()(0)[(1)(0)][(2)(1)]...[()(1)]...()zz-Fz=f+f-ff-ffk-fkf其它略……3.2.3Z反变换已知F(z)——有理分式，求f(k)——使得Z[