2018-2019学年九年级数学下册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 1.2.4 二

11.2二次函数的图象与性质第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质知|识|目|标1．通过回顾图象的平移，理解抛物线y＝ax2平移到抛物线y＝a(x－h)2和抛物线y＝a(x－h)2＋k的过程．2．运用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过观察二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象归纳其性质．3．在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标求二次函数的表达式.目标一理解二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系例1教材补充例题已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：(1)通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－2x2得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2?(2)如果要得到抛物线y＝－2(x－2017)2－2018，应将抛物线y＝－2x2怎样平移？这样的平移方法唯一吗？【归纳总结】抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移：(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项”，即抛物线y＝ax2向左平移时，在自变量x中加上平移的单位数h，向右平移时，在自变量x中减去平移的单位数h;向上平移时，在常数项中加上平移的单位数k，向下平移时，在常数项中减去平移的单位数k.(2)抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也可以先上下平移．(3)由抛物线y＝a(x－h)2＋k平移得到抛物线y＝ax2与由抛物线y＝ax2平移得到抛物线y＝a(x－h)2＋k的方法恰好相反．(4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数a不变，所以求平移后的抛物线的函数表达式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式．目标二理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质例2教材例4针对训练已知二次函数y＝(x－2)2－4.(1)在图1－2－2给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；2(3)当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而增大？当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而减小？(4)根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．图1－2－2【归纳总结】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质：(1)在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，a决定了图象的开口方向与开口大小，h决定了图象的对称轴，h，k决定了图象的顶点的位置．(2)从二次函数的表达式y＝a(x－h)2＋k中，可以直接看出抛物线的顶点坐标(h，k)，对称轴，即直线x＝h，因此通常把表达式y＝a(x－h)2＋k叫作二次函数的顶点式．(3)二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝a(x－h)2的增减性相同．(4)求函数值y＜0时自变量x的取值范围的方法：①求出y＝0时x的值(即确定抛物线与x轴的交点坐标)；②找出x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围．目标三能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k例3教材例5针对训练已知二次函数图象的顶点为A(－1，4)，且过点B(2，－5)．(1)求该函数的表达式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；3(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组x，y的对应值代入，计算出a的值；(3)将所求的a值代入顶点式y＝a(x－h)2＋k中，得到二次函数表达式．知识点一画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤由于我们已经知道了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的性质，因此画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)．知识点二二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质y＝a(x－h)2＋ka的取值图象的开口方向图象的对称轴图象的顶点坐标函数值的变化情况a0向____________________在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______a0向____________________在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______知识点三用平移法由二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象二次函数图象平移的规律：左加右减(对x变化)，上加下减(对y变化)．知识点四已知抛物线的顶点及另一点的坐标求函数表达式我们把y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)叫作二次函数的顶点式，其中________为其图象的顶点坐标．已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标求函数表达式时，设函数表达式为y＝a(x－h)2＋k计算较为简单．[点拨]符合用顶点式求函数表达式的情形：①已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标；②已知抛物线的对称轴及两点的坐标．41．已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A．m＝3B．m＞3C．m≥3D．m≤3答案：A或B上述答案正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．2．抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是________．答案：(－1，2)以上答案正确吗？若不正确，请给出正确答案．5教师详解详析【目标突破】例1解：(1)抛物线y＝－2x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－2(x－2)2的顶点坐标为(2，0)，抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线y＝－2x2向右平移2个单位得到抛物线y＝－2(x－2)2，抛物线y＝－2x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y＝－2(x－2)2＋2.(2)∵抛物线y＝－2(x－2017)2－2018的顶点坐标为(2017，－2018)，∴应将抛物线y＝－2x2先向右平移2017个单位，再向下平移2018个单位．这样的平移方法不唯一．例2解：(1)列表：x…01234…y…0－3－4－30…描点、连线如图．(2)顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数值y有最小值，y最小值＝－4.(3)当x＞2时，函数值y随自变量的增大而增大；当x＜2时，函数值y随自变量的增大而减小．(4)由于抛物线与x轴交于点(0，0)，(4，0)，∴当y＜0时，0＜x＜4.例3解：(1)由顶点为A(－1，4)，可设函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，将B(2，－5)代入表达式，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，则二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋4.(2)令x＝0，得y＝－(0＋1)2＋4＝3，故函数图象与y轴的交点坐标为(0，3)；令y＝0，得0＝－(x＋1)2＋4，解得x1＝－3，x2＝1，故函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)．(3)设原函数图象与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)，由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．当函数图象向右平移至经过坐标原点时，点M与点O重合，因此函数图象向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B′(5，－5)，如图所示，过点A′作A′D⊥y轴于点D，过点B′作B′E⊥y轴于点E，∴S△OA′B′＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15.6【总结反思】[小结]知识点二上直线x＝h(h，k)减小增大下直线x＝h(h，k)增大减小知识点四(h，k)[反思]1.不正确．正确答案为C.因为二次函数y＝(x－m)2－1的图象的对称轴为直线x＝m，而抛物线开口向上，所以当x＜m时，y随x的增大而减小．又因为当x≤3时，y随x的增大而减小，所以m≥3.故答案为C.反思：画出函数图象，根据图象进行分段分析．2．不正确．正确答案为(1，2)．反思：识记抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标公式时，切勿弄错符号．