您好,欢迎访问三七文档
1课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1求值问题1.设5πθ6π,cosθ2=a,则sinθ4=()A.1+a2B.1-a2C.-1+a2D.-1-a2解析:选D∵θ4∈5π4,6π4,∴sinθ4=-1-cosθ22=-1-a2.2.若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值是()A.-433B.8C.43D.-43解析:选Bf(x)=2tanx-2sin2x2-sin2x2-cos2x212sinx=2tanx+cosx12sinx=2(tanx+1tanx).又tanπ12=sinπ61+cosπ6=13+2,∴原式=213+2+3+2=8.3.已知cosθ=-35,且180°θ270°,求tanθ2.解:法一:∵180°θ270°,∴90°θ2135°,∴tanθ20,∴tanθ2=-21-cosθ1+cosθ=-1--351+-35=-2.法二:∵180°θ270°,∴sinθ0,∴sinθ=-1-cos2θ=-1-925=-45,∴tanθ2=sinθ1+cosθ=-451+-35=-2.题组2三角函数式的化简4.化简2+cos2-sin21的结果是()A.-cos1B.cos1C.3cos1D.-3cos1解析:选C原式=2+1-2sin21-sin21=3-3sin21=31-sin21=3cos21=3cos1.5.化简sinα2+cosα22+2sin2π4-α2得()A.2+sinαB.2+2sinα-π4C.2D.2+2sinα+π4解析:选C原式=1+2sinα2cosα2+1-cos2π4-α2=2+sinα-cosπ2-α=2+sinα-sinα=2.题组3三角恒等式的证明6.求证:cos4θ=14+12cos2θ+14cos22θ.证明:法一:原式左边=1+cos2θ22=14+12cos2θ+14cos22θ=右边,∴原式成立.法二:原式右边=14(cos22θ+2cos2θ+1)=14(cos2θ+1)2=14(2cos2θ-1+1)2=cos4θ=左边,∴原式成立.37.求证:2sin4x+34sin22x+5cos4x-12(cos4x+cos2x)=2(1+cos2x).证明:左边=21-cos2x22+34sin22x+51+cos2x22-12(cos4x+cos2x)=2×1-2cos2x+cos22x4+34sin22x+5×1+2cos2x+cos22x4-12(2cos22x-1+cos2x)=2×14+54+12+2×-2cos2x4+5×2cos2x4-12cos2x+2×cos22x4+5×cos22x4-12×2cos22x+34sin22x=94+cos2x+34cos22x+34sin22x=94+cos2x+34=3+cos2x=3+(2cos2x-1)=2(1+cos2x)=右边.∴原式成立.[能力提升综合练]1.函数f(x)=cos2x+π4,x∈R,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数解析:选D由cos2x=2cos2x-1,得f(x)=cos2x+π4=1+cos2x+π22=12+12cos2x+π2=12-sin2x2,所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.2.设a=12cos6°-32sin6°,b=2tan13°1+tan213°,c=1-cos50°2,则有()A.abcB.abcC.acbD.bca解析:选Ca=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,∴acb.3.已知关于x的方程x2+xcosAcosB-2sin2C2=0的两根之和等于两根之积的一半,4则△ABC一定是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:选C由一元二次方程根与系数的关系得-cosAcosB=12-2sin2C2,即cosAcosB=sin2C2=sin2π-A+B2=cos2A+B2=12[1+cos(A+B)].得cos(A-B)=1.∴A=B.4.已知sinπ6+α=23,则cos2π6-α2=________.解析:因为cosπ3-α=sinπ2-π3-α=sinπ6+α=23.所以cos2π6-α2=1+cosπ3-α2=1+232=56.答案:565.已知sinαcosβ=12,则cosαsinβ的取值范围是________.解析:法一:设x=cosα·sinβ,则sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ=12+x,sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ=12-x.因为-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1,所以-1≤12+x≤1,-1≤12-x≤1,所以-32≤x≤12,-12≤x≤32,所以-12≤x≤12.法二:设x=cosα·sinβ,sinα·cosβ·cosα·sinβ=12x,即sin2α·sin2β=2x.由|sin2α·sin2β|≤1,得|2x|≤1,所以-12≤x≤12.答案:-12,126.已知tanα2=12,求sinα+π6的值.5解:∵tanα2=12,∴sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=2×121+14=45,cosα=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-141+14=35.∴sinα+π6=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×32+35×12=3+4310.7.设函数f(x)=sin2ωx+23sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称.其中ω,λ为常数,且ω∈12,1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点π4,0,求函数f(x)的值域.解:(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+3sin2ωx+λ=2sin2ωx-π6+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin2ωπ-π6=±1.所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),即ω=k2+13(k∈Z).又ω∈12,1,k∈Z,所以k=1,故ω=56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y=f(x)的图象过点π4,0,得fπ4=0,即λ=-2sin56×π2-π6=-2sinπ4=-2,即λ=-2.故f(x)=2sin53x-π6-2,函数f(x)的值域为[-2-2,2-2].6
本文标题:2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 第2节 简单的三角恒等变换课下能力提升(二十五
链接地址:https://www.777doc.com/doc-7938688 .html