2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法知识归纳与达标验收（含解析）新人教A版选

1第二讲证明不等式的基本方法考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.解：(1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12＜x＜12，2x，x≥12.2当x≤－12时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；当－12＜x＜12时，f(x)＜2恒成立；当x≥12时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例1]若x，y，z∈R，a0，b0，c0，求证：b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2≥2(xy＋yz＋zx)．[证明]∵b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2－2(xy＋yz＋zx)＝bax2＋aby2－2xy＋cby2＋bcz2－2yz＋acz2＋cax2－2zx＝bax－aby2＋cby－bcz2＋acz－cax2≥0.∴b＋cax2＋c＋aby2＋a＋bcz2≥2(xy＋yz＋zx).综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对3重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例2]设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋c22≤12；(2)a2＋c2b＋b2＋a2c＋c2＋b2a≥2.[证明](1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋bc＋ca＋c22＝12(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤12.(2)因为a2＋c2b≥2acb，b2＋a2c≥2abc，c2＋b2a≥2bca，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．所以a2＋c2b＋b2＋a2c＋c2＋b2a≥acb＋abc＋abc＋bca＋acb＋bca＝acb＋bc＋bac＋ca＋cab＋ba≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例3]已知a0，b0，且a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2.[证明]要证a＋12＋b＋12≤2，4只需证a＋12＋b＋122≤4，即证a＋b＋1＋2a＋12b＋12≤4.即证a＋12b＋12≤1.也就是要证ab＋12(a＋b)＋14≤1，即证ab≤14.∵a0，b0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，即上式成立．故a＋12＋b＋12≤2.反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定B来达到肯定B的目的，如果B只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．[例4]已知a，b，c为实数，a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0，求证：a0，b0，c0.[证明]假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．不妨先设a≤0，下面分a＝0或a0两种情况讨论．①如果a＝0，那么abc＝0，与已知矛盾，所以a＝0不可能．②如果a0，那么由abc0，可得bc0.又因为a＋b＋c0，所以b＋c－a0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0，这与已知中的ab＋bc＋ca0相矛盾．因此，a0也不可能．综上所述，a0.同理可以证明b0，c0，所以原命题成立.放缩法证明不等式5放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．[例5]已知n∈N＋，求证：19＋125＋…＋1(2n＋1)214.[证明]因为1(2k＋1)214k2＋4k＝141k－1k＋1，所以19＋125＋…＋1(2n＋1)2141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋114.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是()A．正向、逆向均可进行正确的推理B．只能进行逆向推理C．只能进行正向推理D．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：选B在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需进行逆向推理即可．2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x0)，则a与b的大小关系是()A．abB．abC．a＝bD．a≤b解析：选B∵a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex(x0)，故b1，∴ab.3．已知a，b，c，d为实数，ab＞0，－ca＜－db，则下列不等式中成立的是()A．bc＜adB．bc＞adC.ac＞bdD.ac＜bd解析：选B将－ca＜－db两边同乘以正数ab，得－bc＜－ad，所以bc＞ad.4．已知x10，x1≠1，且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满6足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xnxn＋1C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：选D命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．6．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值为()A．10B．11C．12D．13解析：选C用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．7．已知a，b，c，d∈R＋且S＝aa＋b＋c＋bb＋c＋d＋cc＋d＋a＋da＋b＋d，则下列判断中正确的是()A．0S1B．1S2C．2S3D．3S4解析：选B用放缩法，aa＋b＋c＋daa＋b＋caa＋c，ba＋b＋c＋dbb＋c＋dbd＋b，ca＋b＋c＋dcc＋d＋acc＋a，da＋b＋c＋ddd＋a＋bdd＋b，以上四个不等式相加，得1S2.8．已知a，b为非零实数，则使不等式ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab＞0B．ab＜0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0解析：选C因为ab与ba同号，由ab＋ba≤－2，知ab＜0，ba＜0，即ab＜0.又若ab＜0，则ab＜0，ba＜0，7所以ab＋ba＝－－ab＋－ba≤－2－ab·－ba＝－2，综上，ab＜0是ab＋ba≤－2成立的充要条件，所以a＞0，b＜0是ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件．9．已知a0，b0，c0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn的大小关系为(n≥3，n∈N＋)()A．an＋bncnB．an＋bncnC．an＋bn≥cnD．an＋bn＝cn解析：选B因为a2＋b2＝c2，所以ac2＋bc2＝1.所以acnac2，bcnbc2，所以acn＋bcnac2＋bc2＝1.所以an＋bncn.故选B.10．若α∈π，5π4，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝12|sinα＋cosα|，Q＝12sin2α，则它们之间的大小关系为()A．MNPQB．MPNQC．MPQND．NPQM解析：选D∵α∈π，5π4，∴0sinαcosα.∴|sinα||cosα|，∴P＝12|sinα＋cosα|＝12(|sinα|＋|cosα|)12(|sinα|＋|sinα|)＝|sinα|＝M.P＝12|sinα|＋|cosα|12(|cosα|＋|cosα|)＝|cosα|＝N.∴NPM.∵Q＝12sin2α＝sinαcosα|sinα|＋|cosα|2＝P，Q＝sinαcosαsin2α＝|sinα|＝M，∴NPQM.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)811．用反证法证明“在△AB