2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系练习（含解析）新人教

-1-4.2.1直线与圆的位置关系A组1.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析:直线y=kx+1过点(0,1),且该点在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.答案:C2.圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是()A.10B.10或-68C.5或-34D.-68解析:由题意得圆心(1,-2),半径r=5,圆心到直线5x-12y+c=0的距离d=.又r2=d2+,所以25=+16,解得c=10或-68.答案:B3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1解析:设圆心C(a,b),半径r=1,由于圆心在第一象限,且与x轴相切,则b=r=1,则C(a,1),圆心C到直线4x-3y=0的距离d==r=1,解得a=2或a=-(舍去),则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.答案:A4.经过点P(2,-1),且被圆C:x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦最短时的直线l的方程为()A.2x-y-6=0B.2x+y-6=0C.x+2y=0D.x-2y=0解析:圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=25,圆心C(3,1),故点P在圆内.当CP⊥l时,弦长最短.又∵kCP==2,∴kl=-.∴直线l的方程为y+1=-(x-2),即x+2y=0.-2-答案:C5.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为()A.1B.C.D.2解析:在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.答案:A6.已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆O:x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形形状为.解析:由题意得,圆心O(0,0)到直线ax-by+c=0(abc≠0)的距离d==1,则a2+b2=c2,故所求三角形是直角三角形.答案:直角三角形7.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是.解析:易知所求直线过圆心且与AB垂直,圆心坐标为(1,0).设所求直线方程为3x-2y+c=0,则3×1-2×0+c=0,c=-3.即所求直线方程为3x-2y-3=0.答案:3x-2y-3=08.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l:x+y+1=0的距离为的点的个数是.解析:圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),圆半径为2,圆心到直线l的距离为.因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为.答案:39.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.解:圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得1,即k2,解得-k.-3-即为直线l斜率的取值范围.10.已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上,且与直线x-y-1=0相切,求圆的方程.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).∵圆心在直线2x+y=0上,∴b=-2a,即圆心为(a,-2a).又∵圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),∴=r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2,即(3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+2a)2],解得a=1或a=9,∴a=1,b=-2,r=或a=9,b=-18,r=13.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.B组1.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线x-y-1=0上截得的弦长为2,那么这个圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=4B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=16解析:圆心到直线的距离d=.R2=d2+()2=4,∴R=2.答案:A2.如果a2+b2=c2,那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析:圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=1.答案:C3.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:令y=0,得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),即为圆心.因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线x+y+3=0的距离等于半径,即r=,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=24.过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为.解析:由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为k,则直线方程为y+2=k(x+1),又圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,-4-∴圆心到直线的距离d=,解得k=1或.答案:1或5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.解析:数形结合的方法.如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°,30°]∪[150°,180°).∴直线l的斜率的取值范围为.答案:6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点P(2,-1)作圆C的切线,切点为A,B.求:(1)直线PA,PB的方程;(2)过P点的圆C的切线长.解:(1)切线的斜率存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.圆心到直线的距离等于,即,∴k2-6k-7=0,解得k=7或k=-1,故所求的切线方程为y+1=7(x-2)或y+1=-(x-2),即7x-y-15=0或x+y-1=0.(2)在Rt△PAC中,PA2=PC2-AC2=(2-1)2+(-1-2)2-2=8,∴过P点的圆C的切线长为2.7.已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)求过点P(1,2),且与圆C相切的直线l的方程;(2)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,求直线l的方程.解:(1)显然直线l的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),则由=2,得k1=0,k2=-,故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.(2)当直线l垂直于x轴时,此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),这两点的距离为2,满足题意;-5-当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d,则2=2,∴d=1,∴1=,∴k=,此时直线方程为3x-4y+5=0.综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1.