2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（

第1课时诱导公式(一)、(二)学习目标核心素养1．掌握诱导公式一、二，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)2．会用诱导公式一、二进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)1．通过诱导公式一和诱导公式二的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.1．诱导公式一cosα＋k·2π＝cosαsinα＋k·2π＝sinαtanα＋k·2π＝tanα(一)．2．诱导公式二cos－α＝cosαsin－α＝－sinαtan－α＝－tanα(二)．思考：公式一、二该如何记忆？[提示]α＋k·2π(k∈Z)，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．sin(－30°)的值是()A．12B．－12C．32D．－32B[sin(－30°)＝－sin30°＝－12.]2．cos－41π3的值为()A．12B．－12C．32D．36A[cos－41π3＝cos－14π＋π3＝cosπ3＝12.]3．cos－174π－sin－174π＝________.2[cos－174π－sin－174π＝cos174π＋sin174π＝cos4π＋π4＋sin4π＋π4＝cosπ4＋sinπ4＝22＋22＝2]利用诱导公式求值【例1】计算：(1)3sin－376πtan136π－cos73π·tan－414π；(2)sin－136π＋cos125π·tan4π；(3)cos253π＋tan－174π；(4)cos7π4sin9π4＋sin－116πcos－136π.[思路探究]先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．[解](1)原式＝3－sin376π·tan2π＋π6－cos2π＋π3·tan－5×2π－π4＝－3sin3×2π＋π6·tanπ6－cosπ3·tan－π4＝－3×12×33－12×(－1)＝0.(2)原式＝－sin136π＋cos125π·tan0＝－sin2π＋π6＋0＝－sinπ6＝－12.(3)原式＝cos8π＋π3－tan174π＝cosπ3－tan4π＋π4＝12－tanπ4＝12－1＝－12.(4)原式＝cos2π－π4sin2π＋π4＋sin－2π＋π6·cos2π＋π6＝cos－π4sinπ4＋sinπ6cosπ6＝cosπ4·sinπ4＋sinπ6cosπ6＝22×22＋12×32＝12＋34.1．解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0,2π)内角的三角函数值．2．求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢．1．计算：(1)sin(－1320°)cos(1110°)＋cos(－1020°)·sin750°；(2)cos－233π＋tan17π4.[解](1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.利用诱导公式化简【例2】化简：1＋2sin290°cos430°sin－70°＋cos790°.[思路探究]应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负．[解]原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°－sin70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.1．三角函数式的化简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．2．化简时要特别注意“1”的变形应用．2．化简：1＋2sin－θcos2π－θsin－6π＋θ－cos－θ＋4π.[解]原式＝1－2sinθcosθsinθ－cosθ＝sinθ－cosθ2sinθ－cosθ＝|sinθ－cosθ|sinθ－cosθ＝1，2kπ＋π4＜θ＜2kπ＋54π，k∈Z，－1，2kπ－34π＜θ＜2kπ＋π4，k∈Z.利用诱导公式证明恒等式[探究问题]利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？[提示]利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【例3】已知tan(2π－α)＝－2，求证：4sin2(4π－α)－3sinα·cos(－α)－5cos2α＝1.[思路探究]可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可．[解]左边＝4sin2(－α)－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2α1＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1.因为tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－2，所以tanα＝2，所以左边＝4×22－3×2－522＋1＝16－6－55＝1，所以4sin2(4π－α)－3sinα·cos(－α)－5cos2α＝1.1．证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题．2．证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明．3．求证：tan2π－αcos－4π－αcos6π－αsinα－2πcosα－4π＝－1.[证明]左边＝tan－αcos－αcos－αsinαcosα＝－tanαcosαcosαsinαcosα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1＝右边，∴原等式成立．(教师用书独具)1．诱导公式的记忆诱导公式(一)、(二)的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．2．利用诱导公式(一)和(二)，还可以得出如下公式sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.1．sin690°的值为()A．12B．32C．－12D．－32C[sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin30°＝－12.]2．点P(cos2019°，sin2019°)落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[2019°＝6×360°－141°，∴cos2019°＝cos(－141°)＝cos141°0，sin2019°＝sin(－141°)＝－sin141°0，∴点P在第三象限．]3.cos360°＋α·sin360°－αcos－α·sin－α的化简结果为________．1[原式＝cosα·sin－αcosα·sin－α＝1.]4．求下列各式的值：(1)cos253π＋tan－154π；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[解](1)cos253π＋tan－154π＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.