2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式（第2课时）三角函数

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第2课时三角函数的诱导公式(五～六)学习目标核心素养(教师独具)1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、诱导公式五终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sinπ2－α＝cos_α；cosπ2－α＝sin_α.思考1：角π6与角π3的三角函数值有什么关系？[提示]sinπ6＝cosπ3＝12，cosπ6＝sinπ3＝32.思考2：角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？[提示]关于直线y＝x对称．二、诱导公式六π2＋α型诱导公式(公式六)：sinπ2＋α＝cos_α；cosπ2＋α＝－sin_α.1．思考辨析(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)sin(90°＋α)＝－cosα.()-2-(3)cos5π2＋α＝－sinα.()[解析](1)×.如tan(π＋α)＝tanα中，α＝π2不成立．(2)×.sin(90°＋α)＝cosα.(3)√.cos5π2＋α＝cos2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα.[答案](1)×(2)×(3)√2．(1)若sinα＝13，则cosπ2－α＝________；(2)若cosα＝45，则sinπ2－α＝________.(1)13(2)45[(1)cosπ2－α＝sinα＝13.(2)sinπ2－α＝cosα＝45.]给值求值【例1】(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值是________．(2)已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值是______．(3)已知sin(π＋A)＝－12，则cos32π－A的值是______．思路点拨：从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．(1)12(2)－13(3)－12[(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴π6＋α＝π2－π3－α，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)∵sinα－π4＝13，∴sinπ4－α＝－13.-3-又∵π4－α＋π4＋α＝π2，∴cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝－13.(3)sin(π＋A)＝－sinA＝－12，cos3π2－A＝cosπ＋π2－A＝－cosπ2－A＝－sinA＝－12.]1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等．1．已知cosα＋π6＝35，求sinα＋2π3的值．[解]∵α＋2π3＝α＋π6＋π2，∴sinα＋2π3＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35.利用诱导公式化简求值【例2】已知f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．-4-思路点拨：利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．[解](1)f(α)＝－sinα·cosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα，∴sinα＝－15，又α是第三象限的角，∴cosα＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.用诱导公式化简求值的方法：1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.2对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.2．已知cosπ2＋α＝13，求sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcos3π2＋αsinπ＋α的值．[解]原式＝cosαsinα－cosα＋sinαsinα－sinα＝－sinα－sinα＝－2sinα.又cosπ2＋α＝13，所以－sinα＝13.所以原式＝－2sinα＝23.-5-诱导公式在三角形中的应用【例3】在△ABC中，sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2，试判断△ABC的形状．思路点拨：sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2――――――→A＋B＋C＝π＝10.即原式＝10.