2021学年新教材数学人教B版必修第二册45增长速度的比较学案Word版含答案

4.5增长速度的比较学习目标1.能利用函数的平均变化率,说明函数的增长速度.2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.自主预习情境引入杰米是百万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二、三个月该多好!可从21天起,情况发生了转变.第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时,共付给韦伯2千1百多万元!杰米破产了.问题1写出杰米每天收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2写出杰米每天支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.三种常见函数模型的增长差异对比三类函数的增长速度,熟记图像变化规律函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=kx(k0)在(0,+∞)上的增减性图像的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随k值而不同形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k0)的增长速度;总存在一个x0,当xx0时,恒有logaxkx增长结果存在一个x0,当xx0时,有课堂探究题型一幂函数的增长速度y=xα,当α1,x0时,随x的增加,y增加的越来越快,当0α1,x0时,随x的增加,y增加的越来越慢.例1已知函数y=x2,分别计算函数在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.训练1已知函数y=,分别计算函数在区间[0,1]与[1,2]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加一个单位时,函数值变化的规律.题型二指数(对数)函数的增长速度y=ax,当a1时,随x的增加,y值增加的越来越快,可以远远超过y=xα(α1)的增长速度;y=logax,当a1,x0时,y随x的增加而增加,但增加的速度越来越慢例2分别计算函数y=3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明函数值变化的规律.训练2计算函数y=log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并以此说明函数值变化的规律.题型三不同函数在同一区间上平均变化率的比较例3已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在区间[a,a+1](a1)上的平均变化率,并比较它们的大小.训练3已知函数y=log3x在[a,a+1](0a1)上的平均变化率小于1,求a的取值范围.核心素养专练1.下列函数中随x的增长而增长最快的是()A.y=exB.y=lnxC.y=x1000D.y=2x2.已知函数f(x)在任意区间上的平均变化率为5,则当自变量减少2个单位时,函数值单位.3.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点参考答案自主预习问题1y=107x(x∈N*)问题2y=2x-1(x∈N*)填表略增函数增函数增函数axkxlogax课堂探究例1解:因为=--=x2+x1,所以y=x2在区间[1,2]上的平均变化率为3,在区间[2,3]上的平均变化率为5,不难看出,当自变量大于零时,自变量每增加1个单位,区间的左端点值越大,函数值增加越快.训练1解:因为=--=,所以y=在[0,1]上的平均变化率为1,在[1,2]上的平均变化率为√-1,可以看出自变量每增加1个单位,区间左端点值越大,函数值增加越慢.例2解:因为=--,所以函数y=3x在区间[1,2]上的平均变化率为--=6,在[2,3]上的平均变化率为--=18,可以看出,当自变量每增加1个单位时,区间左端点值越大,函数值增加越快.训练2解:因为=--,所以y=log3x在区间[1,2]上的平均变化率为--=log32.在区间[2,3]上的平均变化率为--=log3,∵函数y=log3x在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数,又log32log3,∴函数值y增加的速度越来越慢.例3解:因为=--=2a,=--=1,=--=log2(),又因为a1时,有2a21=21,log2()log2()=1,因此在区间[a,a+1]上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的最小.训练3解:∵=--=log3()1,∴log3()log33,∴01+3,又0a1,∴a1,即a的取值范围为().核心素养专练1.A2.减少10个解析:设f(x)=5x+b,x∈R,则f(x-2)-f(x)=5×(x-2)+b-(5x+b)=-10.3.D解析:由图知,甲、乙两人s与t的关系均为直线上升,路程s的增长速度不变,即甲、乙均为匀速运动,但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同,即跑了相同的路程,故甲用时少,先到终点.学习目标1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)自主预习平均变化率1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为.(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)或[x2,x1](x1x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是()A.a1a2B.a1a2C.a1=a2D.无法确定4.y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2课堂探究有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么?为什么?问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗?怎么刻画它们的增长速度呢?问题3:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率怎么表示?问题4:平均变化率有怎样的意义?问题5:平均变化率的几何意义是什么?探究1:函数平均变化率的计算例1求函数y=2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.变式训练求函数y=log2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.探究2:函数增长速度的比较例2已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在[a,a+1](a1)上的平均变化率,并比较它们的大小.要点归纳:平均变化率大小比较常用方法引申:①当0a1时,g(x)的平均变化率还一定比h(x)大吗?②比较三个函数的平均变化率的变化趋势,你能得到什么结论?③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子?例3回扣情境与问题我们再来研究本节课开始的问题:有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子()A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起核心素养专练A组1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是()3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是()A.y=2x-2B.y=()C.y=log2xD.y=(x2-1)4.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法,其中正确的说法是()A.前5min温度增加的速度越来越快B.前5min温度增加的速度越来越慢C.5min以后温度保持匀速增加D.5min以后温度保持不变5.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图像,A对应;B对应;C对应;D对应.6.同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图像,并比较x+5与2x的大小.B组7.某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:年份2016201720182019x(年份代码)0123生产总值y(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图像,猜想y与x之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.参考答案自主预习1.32.(1)平均变化率(2)=--(3)3.A4.C课堂探究问题:略例1解:因为=--=---,所以y=2x在[1,2]上的平均变化率为---=2.y=2x在[2,3]上的平均变化率为---=4.变式训练解:因为=--=-,所以g(x)=log2x在[1,2]上的平均变化率为-=log22=1.g(x)=log2x在[2,3]上的平均变化率为-=log2.例2解:因为=--=2a,=--=1,=--=log2(),又因为a1时,2a21=21,log2()log2()=1,因此在区间[a,a+1](a1)上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的最小.引申:略例3解析:设经过x年后,房价为p(x)万元,这个人攒下的钱共有r(x)万元,则这两个函数的解析式分别为:p(x)=200×1.1x,r(x)=40x,(x∈N).在区间[a,a+1],a∈N上,=--=20×1.1a,=--=40.令,得20×1.1a40,所以alog1.12≈7.3.即a≥8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:x123456789p(x)220242266293322354390429472r(x)4080120160200240280320360x的值每增加1,r(x)的值稳定地增长40,而p(x)的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p(x)的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子.核心素养专练1.B解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B.2.C解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.3.D解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选D.法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代