2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.3.3 平面与平面平行练习 新人教B版必修第四

11.3空间中的平行关系11.3.3平面与平面平行课后篇巩固提升基础巩固1.直线l∥平面α,直线m∥平面α,若l∩m=P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D.不能确定解析∵l∥α,m∥α,l∩m=P,又l⊂β,m⊂β,∴α∥β.答案B2.(多选题)下列命题不正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由空间直线平行传递性知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,D错误.故选ABD.答案ABD3.已知直线a,b,平面α,β,下列命题正确的是()A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥αC.若α∥β,b∥α,则b∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥β解析本题考查线面、面面平行的判定和性质.若a∥α,b∥a,则b∥α或b⊂α,故A错误;由面面平行的判定定理知B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故C错误.故选D.答案D4.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①{⇒a∥b;②{⇒a∥b;③{⇒α∥β;④{⇒α∥β;⑤{⇒a∥α;⑥{⇒a∥α.其中正确的命题是()A.②③B.①④⑤C.①④D.①③④解析本题考查直线、平面的平行.由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b可能相交、平行或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.答案C5.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G解析如图易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.又E1G1∩G1F=G1,E1G1,G1F⊂平面E1FG1.所以平面E1FG1∥平面EGH1.即选项A符合,其他都相交.故选A.答案A6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C.答案C7.下列说法正确的是()A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行D.若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.故选B.答案B8.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是.解析由直观想象易知这两个平面的位置关系是平行或相交.答案平行或相交9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.答案l∥A1C110.如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,=.解析--,而EF=FG,∴EF=,∴-.答案11.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC.∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.能力提升1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是()A.AC∥截面BA1C1B.AC与截面BA1C1相交C.AC在截面BA1C1内D.以上答案都错误解析∵AC∥A1C1,又∵AC⊄面BA1C1,∴AC∥面BA1C1.答案A2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C()A.不共面B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动都共面解析由面面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.答案D3.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列直线与平面AD'C平行的是()A.DD'B.A'BC.C'D'D.BB'解析∵A'B∥CD',∴A'B∥平面AD'C.答案B4.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是中位线,OM∥PD,则OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.①②③正确,④⑤不正确.故选C.答案C5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.答案B6.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若△△,则=()A.B.C.D.解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',△△()(),所以,故选D.答案D7.已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,,则AC=.解析∵α∥β∥γ,∴.由,得,∴.∴AB=6,∴BC=9,∴AC=AB+BC=15.答案158.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.则在四棱锥P-ABCD中,AP与平面EFG的位置关系为.解析在四棱锥P-ABCD中,∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG.答案平行9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是.直线MD与平面BCC1B1的位置关系是.解析因为M是A1D1的中点,所以直线DM与直线AA1相交,所以DM与平面A1ACC1有一个公共点,所以DM与平面A1ACC1相交.取B1C1中点M1,MM1C1D1,C1D1CD,∴四边形DMM1C为平行四边形,∴DMCM1,∴DM∥平面BCC1B1.答案相交平行10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.证明证法一:如图,作ME∥BC交B1B于点E,作NF∥AD交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B.∴.∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,∴B1M=BN.又∵B1M=BN,又∵B1C=BD,∴.∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF,∴MN∥平面AA1B1B.证法二:如图,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P.则B1P⊂平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP,∴.又CM=DN,B1C=BD,∴.∴MN∥B1P.∵B1P⊂平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.11.如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=√a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.解当点F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.∵FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC,∴FM∥平面AEC,由EM=PE=ED,得E是MD的中点.连接BM,BD,设BD∩AC=O,则O是BD的中点,所以BM∥OE.∵BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BM∥平面AEC.∵FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM,∴BF∥平面AEC.