2020年高考数学一轮复习 专题8.2 基本不等式练习（含解析）

8.2基本不等式一.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数，b的几何平均数.二．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)考向一直接法【例1】（1）若x＞0，则x＋2x的最小值是()A．2B．4C.2D．22（2）.设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下A.80B.77C.81D.82【答案】（1）D（2）C【解析】（1）由基本不等式可得x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2x即x＝2时取等号，故最小值是22.故选D.（2）xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案C【举一反三】1.已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为()A．0B．2C．4D.6【答案】C【解析】因为0＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取等号．故选C2.若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81【答案】A【解析】因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.3.若x0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】D24()2xx【套路总结】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备【解析】因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.考向二配凑法【例2-1】（1）设0x32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为______.【答案】(1)92(2)1【解析】(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋（3－2x）22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立.∵34∈0，32，∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.(2)因为x54，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2（5－4x）·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.【例2-2】函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________．【答案】23＋2【解析】∵x1，∴x－10，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．【举一反三】1.已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．【答案】23【套路总结】此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．【解析】x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．2.若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A.1＋2B.1＋3C.3D.4【答案】C【解析】当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2（x－2）×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.3.函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________．【答案】15【解析】y＝x－1x－1＋4＋x－1，当x－1＝0时，y＝0，当x－10时，y＝1x－1＋4x－1＋1≤14＋1＝15，∴当且仅当x－1＝4x－1等号成立，即x＝5时，ymax＝15.考向三常数替代法【例3】（1）已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值为________．(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则4x＋2＋1y＋1的最小值为________．【答案】（1）3＋22（2）94【解析】（1）由x0，y0，得(x＋y)1x＋2y＝3＋yx＋2xy≥3＋22，当且仅当y＝2x时等号成立，又1x＋2y＝1，则x＋y≥3＋22，所以x＋y的最小值为3＋22.（2）正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，∴4x＋2＋1y＋1＝14[(x＋2)＋(y＋1)]4x＋2＋1y＋1＝145＋x＋2y＋1＋4y＋1x＋2≥145＋2x＋2y＋1·4y＋1x＋2＝94，当且仅当x＝2y＝23时，4x＋2＋1y＋1min＝94.【举一反三】1.若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是________．【答案】3【解析】∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋10，b＋c0.∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·4a＋1＋1b＋c＝135＋4b＋ca＋1＋a＋1b＋c≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．2.函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则1m＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，∴A(1，1).将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m0，n0)，可得m＋n＝1，∴1m＋1n＝1m＋1n·(m＋n)＝2＋nm＋mn≥2＋2nm·mn＝4，当且仅当nm＝mn且m＋n＝1(m0，n0)，即m＝n＝12时，取得等号.3．已知1,0,2abab，则1112ab的最小值为（）A．322B．3242C．322D．1223【答案】A【解析】由题意知1,0,2abab，可得：(1)1,10aba，则111111313[(1)]()12212122212212abababababbaba，当且仅当121abba时，等号成立，则1112ab的最小值为322。故选：A．考向四基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化【例4】正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.【套路总结】在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解．【答案】[9，＋∞)【解析】∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，解得ab≥3，即ab≥9.拓展：本例已知条件不变，求a＋b的最小值.【答案】见解析【解析】∵a0，b0，∴ab≤a＋b22，即a＋b＋3≤a＋b22，整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍).故a＋b的最小值为6.【举一反三】1.若a0，b0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.2B.12C.4D.14【答案】B【解析】(1)因为a0，b0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号).又因为2a＋b＝4，∴22ab≤4⇒0ab≤2，∴1ab≥12，故1ab的最小值为12(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).2.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.【答案】5【解析】由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5.考向五消元法【例5】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b的最小值为________．【答案】145【解析】∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b0，∴aa＋b≤aa2＋a＋4，∴－aa＋b≥－aa2＋a＋4，∴u＝2a＋3ba＋b＝3－aa＋b≥3－aa2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a＋1＝145，【举一反三】1．若正数a，b满足111ab，则1911ab的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111ab得：1111abaa，即：1aba0b，0a10a1919119129161111111aaaabaaaa当且仅当1911aa，即4a时取等号min19611ab本题正确选项：A2．若正数xy、满足40xyxy，则4xy的最大值为（）A．25B．49C．12D．47【答案】B【解析】∵正数xy、满足40xyxy，∴04xyx，解得4x，∴44444444941452(4)54444xxyxxxxxxxx，当且仅当444xx时，等号成立，∴4xy的最大值为49．故选：B．考向六实际运用【例6】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】见解析【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得当0x80时，L(x)＝1000x×0.05－13x2＋10x－250＝－13x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－51x＋10000x－1450－250＝1200－x＋10000x.∴L(x)＝－13x2＋40x－250，0x80，1200－x＋10000x，x≥80.(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元；当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)max＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．【举一反三】1.运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升2元，而