2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新人

-1-第三章空间向量与立体几何-2-3.1空间向量及其运算-3-3.1.1空间向量及其加减运算课标阐释思维脉络1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示方法.2.理解空间向量的相关概念.3.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解空间向量加法、减法的几何意义.空间向量及其加减运算空间向量及相关概念加减运算加减运算的定义运算律几何意义课前篇自主预习【思考1】类比平面向量的概念,能否给出空间向量的概念?答案能.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.1.空间向量及其表示(1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.(2)表示:①几何表示法,用有向线段表示;②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.如图,相应的向量可表示为:a或𝐴𝐵.(3)模的表示方法:向量𝐴𝐵的模记为|𝐴𝐵|,向量a的模记为|a|.课前篇自主预习特别提醒注意区分有向线段与向量.向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.课前篇自主预习2.空间向量的相关概念(1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0.(2)单位向量:模为1的向量称为单位向量.(3)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量,记为-a.(4)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.名师点拨1.空间向量的表示方法,以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量相同.2.凡涉及空间两个向量的问题,平面向量中有关结论仍然适用它们.3.两个向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量只有相等与不相等之分,而无大小之分.课前篇自主预习【做一做1】下列命题正确的是()A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量B.零向量没有方向C.若a是单位向量,则|a|=1D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p解析单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即C项正确.答案C课前篇自主预习【思考2】下面给出了两个空间向量a、b,作出b+a,b-a.答案如图,空间中的两个向量a,b相加时,我们可以先把向量a,b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,则𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝑂𝐵=a+b,𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=b-a.课前篇自主预习3.空间向量的加减运算及其运算律空间向量的加减法类似平面向量,定义空间向量的加法、减法运算(如图).OB=OA+AB=a+b𝐶𝐴=𝑂𝐴−𝑂𝐶=a-b加法运算律1.交换律:a+b=b+a2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c)特别提醒1.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.2.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和是零向量.课前篇自主预习【做一做2】已知空间四边形ABCD中,𝐴𝐵=a,𝐵𝐶=b,𝐴𝐷=c,则𝐶𝐷等于()A.a+b-cB.c-a-bC.c+a-bD.c+a+b解析𝐶𝐷=𝐶𝐵+𝐵𝐴+𝐴𝐷=-𝐴𝐵−𝐵𝐶+𝐴𝐷=-a-b+c=c-a-b.答案B课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究一空间向量及相关概念的理解例1给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,𝐴𝐷1与𝐵𝐶1是相等向量;④在空间四边形ABCD中,𝐴𝐵与𝐶𝐷是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与𝐴𝐴1的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测解析①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正确,𝐴𝐷1与𝐵𝐶1的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,𝐴𝐵与𝐶𝐷的模不一定相等,方向也不相反;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与𝐴𝐴1的模一定相等的向量是𝐴1𝐴,𝐵𝐵1,𝐵1𝐵,𝐶𝐶1,𝐶1𝐶,一共有5个.答案②③课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测反思感悟空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;(3)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测变式训练1下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若|a||b|,|b||c|,则ac解析两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故B项正确.答案B课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测探究二空间向量的加法与减法运算例2如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)𝐴𝐴'−𝐶𝐵;(2)𝐴𝐴'+𝐴𝐵+𝐵'𝐶'.思路分析根据空间向量加法及减法运算法则求解.解(1)𝐴𝐴'−𝐶𝐵=𝐴𝐴'−𝐷𝐴=𝐴𝐴'+𝐴𝐷=𝐴𝐷'.(2)𝐴𝐴'+𝐴𝐵+𝐵𝐶'=(𝐴𝐴'+𝐴𝐵)+𝐵𝐶'=𝐴𝐵'+𝐵𝐶'=𝐴𝐶'.向量𝐴𝐷'、𝐴𝐶'如图所示.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测反思感悟1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.2.化简空间向量的常用思路(1)分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.(2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.(3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测延伸探究利用例2题图,化简𝐴𝐴'+𝐴'𝐵'+𝐵'𝐶'+𝐶'𝐴.解结合加法运算𝐴𝐴'+𝐴'𝐵'=𝐴𝐵',𝐴𝐵'+𝐵'𝐶'=𝐴𝐶',𝐴𝐶'+𝐶'𝐴=0.故𝐴𝐴'+𝐴'𝐵'+𝐵'𝐶'+𝐶'𝐴=0.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测思维辨析一题多变——空间向量的加法、减法运算典例在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简𝐴1𝐹1−𝐸𝐹+𝐷𝐹+𝐴𝐵+𝐶𝐶1+𝐷𝐹,并在图中标出化简结果的向量.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测解在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形,所以𝐴1𝐹1=𝐴𝐹.同理𝐴𝐵=𝐸𝐷,𝐶𝐶1=𝐷𝐷1,𝐷𝐹=𝐷1𝐹1,所以𝐴1𝐹1−𝐸𝐹+𝐴𝐵+𝐶𝐶1+𝐷𝐹=𝐴𝐹+𝐹𝐸+𝐸𝐷+𝐷𝐷1+𝐷1𝐹1=𝐴𝐹1,如图.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测延伸探究(1)若本例条件不变,化简𝐴𝐵+𝐶𝐶1+𝐷𝐸+𝐵1𝐷1,并在图中标出化简结果的向量.(2)若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱,化简𝐴𝐹1−𝐴𝐵+𝐵𝐶,并在图中标出化简结果的向量.解(1)根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形,所以𝐵𝐵1=𝐶𝐶1,𝐷𝐸=𝐷1𝐸1,所以𝐴𝐵+𝐶𝐶1+𝐷𝐸+𝐵1𝐷1=𝐴𝐵+𝐵𝐵1+𝐷1𝐸1+𝐵1𝐷1=𝐴𝐵+𝐵𝐵1+𝐵1𝐷1+𝐷1𝐸1=𝐴𝐸1.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测(2)因为六边形ABCDEF是正六边形,所以BC∥EF,BC=EF,又因为E1F1∥EF,E1F1=EF,所以BC∥E1F1,BC=E1F1,所以BCE1F1是平行四边形,所以𝐴𝐹1−𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐹1+𝐵𝐶=𝐵𝐸1.方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.答案B课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测2.已知空间向量𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐴𝐷,则下列结论正确的是()A.𝐴𝐵=𝐵𝐶+𝐶𝐷B.𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐷𝐶C.𝐴𝐷=𝐴𝐵−𝐷𝐶+𝐵𝐶D.𝐵𝐶=𝐵𝐷−𝐷𝐶解析𝐴𝐵−𝐷𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶−𝐷𝐶=𝐴𝐶−𝐷𝐶=𝐴𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐷,故C项正确.答案C课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量相等的向量共有()A.1个B.2个C.3个D.4个𝐴𝐷解析与向量𝐴𝐷相等的向量是𝐵𝐶,𝐵1𝐶1,𝐴1𝐷1,共3个.答案C4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若𝐶𝐴=a,𝐶𝐵=b,𝐶𝐶1=c,则𝐴1𝐵=.解析如图,𝐴1𝐵=𝐵1𝐵−𝐵1𝐴1=𝐵1𝐵−𝐵𝐴=-𝐶𝐶1-(𝐶𝐴−𝐶𝐵)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案-c-a+b课堂篇探究学习探究一探究二当堂检测5.如图所示的是平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列各式.(1)𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1;(2)𝐷𝐷1−𝐴𝐵+𝐵𝐶.解(1)𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴1=𝐴𝐶+𝐴𝐴1=𝐴𝐶1.(2)𝐷𝐷1−𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐴1−𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐴1+𝐵𝐶=𝐵𝐷1.课堂篇探究学习