【湖南省长沙市】2017年高考四县联考模拟理科数学试卷

湖南省长沙市2017年高考四县联考理科数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U为实数集，集合2{|2x30}Axx＜,{ln(|1)}Bxyx，则()UABð为（）A．{|13}xx≤＜B．{|3}xx＜C．{|1}xx≤-D．{|11}xx＜＜2．i是虚数单位，若复数z满足i1iz，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0B．1C．2D．33．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①mnmn∥；②mmnn∥；③mm∥；④mnmn∥∥．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．π14B．π12C．π4D．π1125．已知点(3,0)A，过抛物线24yx上一点P的直线与直线1x垂直相交于点B，若PBPA，则点P的横坐标为（）A．1B．32C．2D．526．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．28π3C．44π3D．20π7．函数sin()ln(2)xfxx的图像可能是（）ABCD8．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．101C．111D．2319．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）….晷影长（寸）135125.564115.164105.26295.36285.46……节气春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）75.5566.56455.66345.76235.86125.9616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸10．设12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OPOFPF(O为坐标原点)，且1223PFPF，则双曲线的离心率为（）A．13B．213C．132D．3211．已知集合{(,)|()}Mxyyfx，若对于任意实数对11,xyM（），存在22,xyM（），使12120xxyy成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①21,){(}|Mxyyx；②{,)sin}(|1Mxyyx；③{(|,)22}xMxyy﹣；④2{(|,)log}Mxyyx其中是“垂直对点集”的序号是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．定义在(1,)上的函数()fx满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x恒有(2)2()fxfx成立；（2）当(1,2]x时，()2fxx；记函数()()(1)gxfxkx，若函数()gx恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1,2)B．4[,2]3C．4[,2)3D．4(,2)3二、填空题13．若两个非零向量,ab满足||||2||ababa，则向量ab与ab的夹角是__________．14．已知5()axx的展开式中含32x的项的系数为30，则实数a=__________．15．我们可以利用数列{}na的递推公式,(),2nnnnananN为奇数时为偶数时，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则6465aa__________．16．实数x、y满足3060xxyxy≤≥≥，若zaxy的最大值为39a，最小值为33a，则a的取值范围是________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2coscoscbBaA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若25a，求ABC△面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，°60BAD，Q是AD的中点．（1）若PAPD，求证：PQBPAD平面平面；（2）若APDABCD平面平面，且2PAPDAD，点M在线段PC上且满足3PCPM，求二面角MBQC的大小．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的22列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：P2()Kk≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828K2的观测值：2(-)()()()()nadbckabcdacbd（其中nabcd）关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80ab____________对商品不满意c______10d______合计____________200n20.（12分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，2F为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆228xy上，且M在第一象限，过M作圆228xy的切线交椭圆P，Q两点，判断2PFQ△的周长是否为定值并说明理由．21．（12分）已知函数ln()xfxx的图像为曲线C，函数1()2gxaxb的图像为直线l．（1）当2,3ab时，求()()()Fxfxgx的最大值；（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为12,xx，且12xx，求证：1212(())2xxgxx＞．请考生在22．23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数），l与C交与A，B两点，||10AB，求l的斜率．【选修4-5：不等式选讲】23．设函数()||2|1|fxxax．（Ⅰ）当3a时，解不等式()1fx≥；（Ⅱ）若()|25|0fxx≤对任意的2[]1,x恒成立，求实数a的取值范围．