（全国）2019版中考数学复习 第四单元 三角形 第23课时 解直角三角形的应用课件

第23课时解直角三角形的应用考点解直角三角形的应用常用知识课前双基巩固考点聚焦1.仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角.2.俯角:视线在水平线下方的角叫做俯角.3.坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=.4.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.i=tanα,坡度越大,α角越大,坡面越陡.5.方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.h∶l课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九下P75例4改编]如图23-1,热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高约为m(结果取整数).图23-1[答案]277[解析]如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120m,∴BD=AD·tan30°=120×33=403(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120m,∴CD=AD·tan60°=120×3=1203(m),∴BC=403+1203=1603≈277(m).所以这栋楼的高约为277m.课前双基巩固2.[九下P84复习题28第8题改编]如图23-2,两座建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角α为35°12',测得C点的俯角β为43°24',则这两座建筑物AB,CD的高度分别为(结果保留小数点后一位).图23-2[答案]30.8m,7.8m[解析]如图,延长CD与水平线交于点E,∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB=43°24'.∵∠B=90°,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24'≈30.8(m),在Rt△ADE中,DE=AE·tan∠EAD=32.6×tan35°12'≈23.0(m),∴CD=CE-DE=30.8-23.0=7.8(m).即建筑物AB的高约为30.8m,CD的高约为7.8m.课前双基巩固3.[九下P77练习第1题改编]如图23-3,海中有一个小岛A,它周围8nmile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12nmile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,则触礁的危险.(填“有”或“没有”)图23-3[答案]没有[解析]如图,过点A作AC⊥BD于点C,则AC的长是点A到BD的最短距离.∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°,∴∠ABD=∠BAD,∴BD=AD=12nmile.∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,∴AC=AD·cos∠CAD=12×32=63≈10.392(nmile)8(nmile).即渔船继续向东行驶,没有触礁的危险.课前双基巩固题组二易错题4.[2018·金华、丽水]如图23-4,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()A.tan𝛼tan𝛽B.sin𝛽sin𝛼C.sin𝛼sin𝛽D.cos𝛽cos𝛼【失分点】不善于根据实际问题构造直角三角形模型;对于非直角三角形,不能简洁地作出辅助线转化为直角三角形.[答案]B[解析]由锐角三角函数的定义,得AD=𝐴𝐶sin𝛽,AB=𝐴𝐶sin𝛼,∴AB与AD的长度之比为sin𝛽sin𝛼,故选B.图23-4课前双基巩固5.无人机在A处测得正前方河流两岸B,C的俯角分别为α=70°,β=40°,此时无人机的高度是h,则河流的宽度BC为()A.h(tan50°-tan20°)B.h(tan50°+tan20°)C.h1tan70°-1tan40°D.h1tan70°+1tan40°[答案]A[解析]如图,在Rt△ACD中,∠CAD=50°,AD=h.∴CD=ADtan50°=htan50°.又∵Rt△ABD中,∠BAD=20°,∴BD=ADtan20°=htan20°.∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-tan20°).故答案为A.图23-5课堂考点探究探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题例1[2018·达州]在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)【命题角度】(1)求某建筑物或飞行器的高度(或宽度);(2)用列方程的方法求解含有两个特殊三角形的问题.00000000000解:如图,设雕塑的高CD为x米.在Rt△ACD中,AD=𝑥tan30°,在Rt△BCD中,BD=𝑥tan45°=x,根据题意,得AD-BD=4,即𝑥tan30°-x=4.解得x=23+2.答:雕塑的高CD为(23+2)米.图23-6课堂考点探究[方法模型]解直角三角形的应用的基本图形①不同地点看同一点(如图23-7①);②同一地点看不同点(如图23-7②);图23-7③利用反射构造相似(如图23-8).图23-8[2018·长沙]为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图23-9,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)课堂考点探究针对训练00000000000解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.Rt△BCD中,CD=BC·sinB=40(千米),Rt△ACD中,AC=𝐶𝐷sin𝐴=402(千米),AC+BC=402+80≈136.4(千米).答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.图23-9(2)Rt△BCD中,BD=BC·cosB=403(千米),Rt△ACD中,AD=𝐶𝐷tan𝐴=40(千米),AB=AD+BD=40+403≈109.2(千米),AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).答:开通隧道后,汽车从A地到B地大约可少走27.2千米.课堂考点探究探究二利用直角三角形解决方向角问题【命题角度】(1)利用直角三角形解决方向角问题;(2)通过作辅助线把实际问题转化为直角三角形问题.课堂考点探究例2[2018·衢州]五一期间,小明到小陈家所在的美丽乡村游玩,在村头A处小明接到小陈发来的定位,发现小陈家C在自己的北偏东45°方向,于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处,这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向,如图23-10所示.根据以上信息和下面的对话,请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处?(精确到1米,备用数据2≈1.414,3≈1.732)图23-10解:设BD=x,则AD=200+x,在Rt△ACD中,∵∠CAD=45°,∴CD=AD=200+x.在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,∴CD=3BD=3x,∴200+x=3x,∴x=100(3+1)=1003+100≈273.答:小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处.课堂考点探究针对训练00000000000解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于D,由题意可知∠ACD=60°,AC=2000,∴∠A=30°,∴CD=12AC=1000.即这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离是1000米.1.[2018·衡阳]一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆C出发,沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处,参观后又从A处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处,如图23-11所示.(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;图23-11(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在15分钟内能否到达宾馆?(2)能.理由:在Rt△BCD中,∵CD=1000,∠BCD=45°,∴BC=𝐶𝐷cos45°=100022=10002.∵10002÷100=10215,∴徒步爱好者能在15分钟内到达宾馆.课堂考点探究00000000000解:过点C作CD⊥AB于点D,由题意得:∠BCD=30°,设BC=x,则:在Rt△BCD中,BD=BCsin30°=12x,CD=BCcos30°=32x,∴AD=30+12x,在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,即30+𝑥22+32x2=702,解得:x1=50,x2=-80(舍去).答:渔船此时与小岛C之间的距离为50nmile.2.[2017·泸州]如图23-12,海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile,若该渔船由西向东航行30nmile到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上.求该渔船此时与小岛C之间的距离.图23-12课堂考点探究探究三利用直角三角形解决坡度问题【命题角度】(1)利用直角三角形解决坡度问题;(2)通过作辅助线把涉及坡度的实际问题转化为直角三角形问题.例3一个房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图23-13所示,判断正误:(1)斜坡AB的坡度是10°;()(2)斜坡AB的坡角是10°;()(3)斜坡AB的坡度i=ℎ𝑙的意思是𝐴𝐶𝐵𝐶;()(4)斜坡AB的坡度是tan10°;()(5)AC=1.2tan10°米;()(6)AB=1.2cos10°米.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×课堂考点探究1.[2018·遂宁]如图23-14,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角为45°,然后沿着坡度为i=1∶3的坡面AD走了200米到达D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,求山高BC(结果保留根号).图23-14针对训练课堂考点探究解:如图所示,过点D作DF⊥AC,垂足为F,∵坡面AD的坡度i=1∶3,且AD=200米,∴tan∠DAF=𝐷𝐹𝐴𝐹=13=33,∴∠DAF=30°,∴DF=12AD=12×200=100(米),∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°,∴四边形DECF是矩形,∴EC=DF=100(米).又∵∠BAC=45°,BC⊥AC,∴∠ABC=45°,∵∠BDE=60°,DE⊥BC,∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°,∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°,∴∠ABD=∠BAD,∴AD=BD=200米,在Rt△BDE中,sin∠BDE=𝐵𝐸𝐵𝐷,∴BE=BDsin∠BDE=200×sin60°=200×32=1003(米),∴BC=BE+EC=(100+1003)米,∴山高为(100+1003)米.课堂考点探究2.某地一人行天桥如图23-15所示,天桥高6米,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1∶3.(1)求新坡面的坡角α;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.图23-15解:(1)∵新坡面的坡度为1∶3,∴tanα=tan∠CAB=13=33,∴∠α=30°.答:新坡面的坡角α为30°.2.某地一人行天桥如图23-15所示,天桥高6米,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1∶3.(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.课堂考点探究(2)文化墙PM不需要拆除.过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6,∵坡面BC的坡度为1∶1,新坡面的坡度为1∶3