（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件

§9.1直线的方程第九章平面解析几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在填空题中出现.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴的直线的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝.ZHISHISHULI逆时针最小正角平行或重合[0°，180°)y2－y1x2－x1tanα(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_______________不含直线x＝x0斜截式__________不含垂直于x轴的直线两点式_______________(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式_________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？【概念方法微思考】提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k不存在；因为k＝tanαα≠π2.当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析√××√123456题组二教材改编1234562.[P80T6]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为.解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.13.[P88T13]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________________________.3x－2y＝0或123456解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x＋y－5＝0当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题组三易错自纠1234564.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是.3π4，π解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋10，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.11234565.(2018·江苏省南京市秦淮中学期末)已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为.解析∵倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，∴2m＝2，解得m＝1.6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为.123456③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，x－2y＋2＝0或x＝2解析①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一直线的倾斜角与斜率师生共研例1(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是.解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，0，π4∪34π，π又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θπ.解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，3(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.(－∞，－3]∪[1，＋∞)∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP＝1－02－－1＝13，kBP＝3－00－－1＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华(1)倾斜角α与斜率k的关系①当α∈0，π2时，k∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k不存在.③当α∈π2，π时，k∈(－∞，0).(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率.②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性.跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝_________.1±2或0解析∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即a2＋a2－1＝a3＋a3－1，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.(2)若直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是.π4，π2所以k＝tanα≥1.解析直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤απ2.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；题型二求直线的方程师生共研又直线经过点A(－1，－3)，(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；解设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4).即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.解设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.题型三直线方程的综合应用多维探究命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|MA→|·|MB→|取得最小值时直线l的方程.解设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝1.|MA—→|·|MB—→|＝－MA—→·MB—→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，当a＝12时，四边形的面积最小.思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练3过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；解设直线l：xa＋yb＝1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程.解因为4a＋1b＝1，a0，b0，所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.3课时作业PARTTHREE基础保分练1234567891011121314151660°解析设直线的倾斜角为α，斜率为k，1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为.化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝3.∵0°≤α180°，∴α＝60°.12345678910111213141516x＝2∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.2.过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是.解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，12345678910111213141516M(4,5)3.直线MN的斜率为2，其中点N(1，－