九年级数学下册 第2章二次函数 2.3二次函数的应用2.3.2 二次函数与一元二次方程的联系第1课时

2.3.2二次函数与一元二次方程的联系(第1课时)1.理解二次函数与一元二次方程的关系,知道二次函数与x轴交点的横坐标就是方程的解.(重点)2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.(难点)二次函数(1)y=x2+x-2,(2)y=x2-6x+9,(3)y=x2-x+1的图象如图所示,观察图象填空.(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是___,__;当x取公共点的横坐标时,函数的值是__.由此得出方程x2+x-2=0的根是x1=___,x2=__.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是__.当x=__时,函数的值是__.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根_______.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0___________.-210-21330x1=x2=3没有实数根【总结】一般地,由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是__,因此x=__就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:0x0抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况b2-4ac0有___个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有___个有两个相等的实数根b2-4ac0没有公共点_____实数根两一没有(1)二次函数的图象如果经过原点,则此图象与x轴一定有两个交点.()(2)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根.()(3)二次函数y=x2-2x+1函数值大于零时自变量x的取值范围是x≠1.()(4)若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-1,x2=5,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-1,0)和(5,0).()×√√√知识点1二次函数与一元二次方程的关系【例】(2013·南京中考)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m为常数,且a≠0).(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时,求a的值.②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.【思路点拨】(1)证明b2-4ac0.(2)①求出点A,B的坐标,计算AB的长度,求出点C的坐标,根据S△ABC=1,求出a.②求出点D的坐标,根据S△ABC=S△ABD,列出方程求m.【自主解答】(1)y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am.因为当a≠0时,[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a20.所以,方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根.所以,不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.(2)①y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-)2-所以，点C的坐标为当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0.解得x1=m，x2=m+1.所以AB=1.当△ABC的面积等于1时，所以a=-8或a=8.2m12a4，2m1a(,).241a1||1.241a1a1()111.2424所以或②当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0,am2+am).当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，2221a11||1amam.2421a11()1amam2421a111amam.24211212mmm.222所以或－－－所以或或【总结提升】二次函数与一元二次方程关系的两方面1.从“数”的方面看:当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.从“形”的方面看:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.题组:二次函数与一元二次方程的关系1.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.抛物线y=x2-x-n的顶点横坐标为,且该抛物线开口向上,又因为一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,即抛物线y=x2-x-n与x轴没有交点,因此,它的顶点只能在第一象限.122.根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断该二次函数的图象与x轴()x…-1012…y…-1-2…7474A.只有一个交点B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧C.有两个交点,且它们均在y轴同侧D.无交点【解析】选B.根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可以发现当x=0,x=2时,y的值都等于0,又根据二次函数图象的对称性可得:直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴,此时y有最小值-2,因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.743.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方,则()A.a0,b2-4ac≥0B.a0,b2-4ac0C.a0,b2-4ac≥0D.a0,b2-4ac0【解析】选D.由题意可知,抛物线开口向下,且与x轴无公共点,即a0,b2-4ac0.4.抛物线y=x2-2mx+m2-1的顶点在()A.x轴下方B.x轴上C.x轴上方D.条件不够,无法确定【解析】选A.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与x轴的关系是当a0时,b2-4ac0,顶点在x轴下方;b2-4ac=0,顶点在x轴上;b2-4ac0,顶点在x轴上方;本题a=10,b2-4ac=(-2m)2-4(m2-1)=40,所以选A.5.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有可能是()【解析】选C.根据二次函数与一元二次方程之间的关系可知,A错误;又因为两根之积为正数,所以两根同号,D错误;由x1+x2=4可知两根都为正数,所以B错误.6.(2013·常州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:x-3-2-1012345y1250-3-4-30512给出下列结论:(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为-3.(2)当-x2时,y0.(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.12则其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.0【解析】选B.由表格可知,抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)和(3,0),所以抛物线对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4),所以二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为-4;由表可知抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),开口向上,所以当-1x3时y0,所以当-x2时,y0正确,(3)也正确.即正确的有(2)(3)两个.127.二次函数y=x2+x-c的图象与x轴交点的横坐标是2和-3,则方程x2+x-c=0的解是.【解析】二次函数y=x2+x-c的图象与x轴交点的横坐标是2和-3,当y=0时,一元二次方程x2+x-c=0的两个根为x1=2,x2=-3.答案:x1=2,x2=-38.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴有个交点.【解析】根据b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×4m=4(m-1)2≥0,所以抛物线与x轴有一个或两个交点.答案:一或两9.m为何值时,抛物线y=(m-1)x2+2mx+m-1与x轴没有交点?【解析】∵抛物线y=(m-1)x2+2mx+m-1与x轴无交点,∴当m时,抛物线y=(m-1)x2+2mx+m-1与x轴无交点.22m101m.2(2m)4m10，解得，1210.已知抛物线y=x2-2x-8.(1)试说明该抛物线与x轴一定有两个交点.(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(A在B的左边),且它的顶点为P,求△ABP的面积.【解析】(1)解方程x2-2x-8=0,得x1=-2,x2=4.故抛物线y=x2-2x-8与x轴有两个交点.(2)由(1)得A(-2,0),B(4,0),故AB=6.由y=x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-1)2-9,故P点坐标为(1,-9);过P作PC⊥x轴于C,则PC=9,∴S△ABP=AB·PC=×6×9=27.1212【想一想错在哪？】已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点,求k的取值范围.提示:此函数为一次函数时,与x轴也有一个交点.