2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和

数学第四章三角函数、解三角形第3讲简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝_____________________；cos(α∓β)＝_____________________；tan(α±β)＝_________________α±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝______________；cos2α＝______________＝____________＝____________；tan2α＝__________α，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α3．三角函数公式的关系常用结论四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1±tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.(4)辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.二、习题改编1．(必修4P137A组T5改编)已知sinα－π3＝1517，α∈π2，56π，则sinα的值为()A.817B.153＋834C.15－8334D．15＋8334解析：选D.因为α∈π2，56π，所以α－π3∈π6，π2，cosα－π30，cosα－π3＝1－15172＝817，所以sinα＝sinα－π3＋π3＝sinα－π3cosπ3＋cosα－π3sinπ3＝1517×12＋817×32＝15＋8334.故选D.2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin108°cos42°－cos72°·sin42°＝__________．解析：原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.答案：12一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()√×××√二、易错纠偏常见误区(1)不会用公式找不到思路；(2)不会合理配角出错．1．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A．－210B.210C．－7210D．7210解析：选C.因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝sinα·cosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.2．sin15°＋sin75°的值是__________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案：62三角函数公式的直接应用(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D．255(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝__________．【解析】(1)依题意得4sinαcosα＝2cos2α，由α∈0，π2，知cosα0，所以2sinα＝cosα.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝15.又α∈0，π2，所以sinα＝55，选B.(2)法一：因为tanα－5π4＝15，所以tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝15，即tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.【答案】(1)B(2)32利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cosπ2＋α＝2cos(π－α)，则tanπ4＋α＝()A．－3B．3C．－13D．13解析：选A.因为cosπ2＋α＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，所以tanα＝2，所以tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα＝－3，故选A.2．已知sinα＝13＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα＋π4的值为()A．－23B.23C．－13D．13解析：选A.因为sinα＝13＋cosα，即sinα－cosα＝13，所以cos2αsinα＋π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4＋cosαsinπ4＝（cosα－sinα）（cosα＋sinα）22（sinα＋cosα）＝－1322＝－23，故选A.3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为()A.8＋1010B.8－1010C．－45D．45解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°，所以tanα＝tan(β－45°)＝tanβ－tan45°1＋tan45°·tanβ＝13，cos2α＝cos2α－sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝45，故选D.三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝_________．【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.(2)因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】(1)B(2)－12(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan215°)cos215°的值等于()A.1－32B．1C.32D．12解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.2．已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A．－13B．13C．－23D．23解析：选D.cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝12＋12sin2α＝12＋12×13＝23.3．(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝__________．解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2.答案：2两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)角度一三角函数公式中变“角”(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝__________．【解析】由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－350，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，cosα＋π4＝cos（α＋β）－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.【答案】－45角度二三角函数公式中变“名”求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.【解】原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30°－10°）2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，π4＋α＋π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒]转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝__________，tanα＝__________．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan（α＋2β）－tanβ1＋tan（α＋2β）tanβ＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）×（－3）＝12.答案：－1122