2020年高中数学 第三章 直线与方程章末复习与总结课件 新人教A版必修2

第三章直线与方程章末复习与总结1．直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．【例1】求与直线y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程．[解]解法一：由直线l与直线y＝43x＋53垂直，可设直线方程为y＝－34x＋b，则直线l与x轴，y轴上的截距分别为x0＝43b，y0＝b.又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S＝12|x0||y0|＝24，即1243b|b|＝24，所以b2＝36.解得b＝6或b＝－6.故所求直线的方程为y＝－34x＋6或y＝－34x－6，即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0.解法二：设直线l的方程为xa＋yb＝1，则直线的斜率k＝－ba.因为l与直线y＝43x＋53垂直，所以k＝－ba＝－34，即ba＝34.又因为l与坐标轴围成的三角形的面积为24，所以12|ab|＝24，即|ab|＝48.所以a＝8，b＝6或a＝－8，b＝－6.所以直线l的方程为x8＋y6＝1或x－8＋y－6＝1，即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0.[点评]解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．2．直线在坐标轴上的截距问题【例2】求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．[解]当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y＝12x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xa＋yb＝1，又过点A，所以4a＋2b＝1.①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|.②由①②联立方程组，解得a＝6，b＝6或a＝2，b＝－2.所以所求直线的方程为x6＋y6＝1或x2＋y－2＝1，化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.综上，直线l的方程为y＝12x或x＋y＝6或x－y＝2.[思维探究]1．截距相等问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y＝12x.②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xa＋ya＝1，又直线过A(4,2)，∴a＝6，∴方程为x＋y－6＝0，综上，直线方程为y＝12x或x＋y－6＝0.2．截距和为零问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．解：①同上．②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xa－ya＝1.又过A(4,2)，∴4－2a＝1，即a＝2，∴x－y＝2.综上，直线l的方程为y＝12x或x－y＝2.3．截距成倍数问题求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．解：①同上．②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x3a＋ya＝1，又直线过A(4,2)，所以43a＋2a＝1，解得a＝103，方程为x＋3y－10＝0.综上，所求直线方程为y＝12x或x＋3y－10＝0.4．截距和是定数问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．解：设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意4a＋2b＝1，a＋b＝12.∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.因此a＝6，b＝6或a＝8，b＝4.∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.|方法总结|1．数形结合思想【例3】已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[解]如图所示，直线PA的斜率kPA＝2－－3－1－－2＝5，直线PB的斜率kPB＝0－23－－1＝－12.当直线l绕着点P由PA逆时针旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率的变化范围是[5，＋∞)．当直线l绕着点P由PC逆时针旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是－∞，－12.∴直线l的斜率的取值范围是－∞，－12∪[5，＋∞).根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合.|方法总结|2.分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．【例4】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．[解]①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为3x＋y＝0.②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：a－2a＋1＝a－2，解得a＝0.此时直线的方程为x＋y＋2＝0.综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.在本章中涉及分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.|方法总结|易错点1倾斜角与斜率的关系【例5】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角α的取值范围是；直线l的斜率k的取值范围是．[解析]如图，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.[答案]45°≤α≤135°k≤－1或k≥1[易错点拨]1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.2．如图，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．易错点2斜截式判断两直线平行的误区【例6】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求实数m的值．[解]由题设l2的方程可化为y＝－m－23x－23m，则其斜率k2＝－m－23，在y轴上的截距b2＝－23m.∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－1mx－6m.由l1∥l2，得－m－23＝－1m，－23m≠－6m，解得m＝－1.∴m的值为－1.1．两条直线平行时，若斜率存在，则斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[易错点拨]易错点3漏掉直线斜率不存在的情况致误【例7】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．[解](1)若直线l1，l2的斜率存在①，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|－1－5k|－12＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.(2)若l1，l2的斜率不存在①，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.1．①处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．[易错点拨]