2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点四 平面向量课件 理

考点四平面向量第一部分刷考点A卷一、选择题1．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝()A．－12B．12C．－2D．2答案C解析因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A．35，－45B．45，－35C．－35，45D．－45，35答案A解析因为AB→＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝AB→|AB→|＝15(3，－4)＝35，－45，故选A.3．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A．8B．－8C．4D．－4答案B解析由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故36＝－4k，即k＝－8.故选B.4．(2019·湖南长沙一中一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为()A．4B．8C．14D．18答案A解析由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝a22＝|a|22＝8，从而a在b方向上的投影为a·b|b|＝82＝4，故选A.5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→＝()A．13a＋23bB．－13a－23bC．－13a＋23bD．13a－23b答案C解析由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点，得CEAB＝EFBF＝12，则BF→＝23BE→＝23(BC→＋CE→)＝23AD→－12AB→＝－13a＋23b，故选C.6．(2019·辽宁朝阳四模)已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足BP→＝λBC→(λ∈R)，若|AB→|＝2，则AP→·(AB→＋AC→)＝()A．23B．3C．6D．与λ有关的数值答案C解析设BC的中点为O，则|AO→|＝3，因为BP→＝λBC→(λ∈R)，所以点P在直线BC上，即AP→在AO→方向上的投影为|AO→|，所以AP→·(AB→＋AC→)＝2AO→·AP→＝2|AO→|2＝6，故选C.7．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．－12，2∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．－12，＋∞D．－∞，－12答案A解析因为a与b的夹角为钝角，所以a·b0且a，b不共线，即－2λ－10且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案A解析(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，即CB→·(AB→＋AC→)＝0，∵AB→－AC→＝CB→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|＝|AC→|，∴△ABC是等腰三角形，故选A.二、填空题9．(2019·山东栖霞模拟)若向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，则a·b＝________.答案－3解析因为a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因为向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.10．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，若a－b＝xe1＋ye2，则y＝________.答案－3解析由题图易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，则a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1－3e2，所以x＝1，y＝－3.11．(2019·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若点P满足PA→＋PB→＋PC→＝0，则|OP→|＝________.答案22解析因为PA→＋PB→＋PC→＝0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为1＋2＋33，1＋2＋33，即(2,2)，故|OP→|＝22.12．(2019·山东德州二模)已知△ABC中，|BC→|＝2，BA→·BC→＝－2.点P为BC边上的动点，则PC→·(PA→＋PB→＋PC→)的最小值为________．答案－2512解析以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(－1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x，y)，由BA→·BC→＝－2，可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，则PC→·(PA→＋PB→＋PC→)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a2－a－2＝3a－162－2512，当a＝16时，PC→·(PA→＋PB→＋PC→)的最小值为－2512.三、解答题13．已知OA→＝a，OB→＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.(1)用a，b表示向量MN→；(2)设|a|＝1，|b|＝2，MN→⊥OA→，求a与b的夹角．解(1)由题意可得，AB是△SMN的中位线，故有MN→＝2AB→＝2(OB→－OA→)＝2(b－a)．(2)记a与b的夹角为θ，因为MN→⊥OA→，所以MN→·OA→＝0，即2(b－a)·a＝0，则b·a－a2＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则2cosθ－1＝0，即cosθ＝12，而θ∈[0，π]，所以θ＝π3.14．(2019·四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量a＝(3，－1)，b＝12，32.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．解(1)证明：∵a·b＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b.(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．B卷一、选择题1．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是()A．a＝2bB．a∥bC．a＝－13bD．a⊥b答案C解析“a|a|＋b|b|＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，则答案为C.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3答案C解析∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC→|＝1，∴12＋t－32＝1，∴t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·山东临沂、枣庄二模)已知O是正方形ABCD的中心．若DO→＝λAB→＋μAC→，其中λ，μ∈R，则λμ＝()A．－2B．－12C．－2D．2答案A解析∵DO→＝DA→＋AO→＝CB→＋AO→＝AB→－AC→＋12AC→＝AB→－12AC→，∴λ＝1，μ＝－12，∴λμ＝－2，故选A.4．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34答案C解析因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，所以PC→＝－2PA→＝2AP→，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝23AC，由三角形的面积公式可知，S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.5．(2019·福建模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝3，|b|＝1，则向量b与a－b的夹角为()A．π3B．2π3C．π6D．5π6答案B解析因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以a⊥b.如图，设AB→＝a，AD→＝b，则向量b与a－b的夹角为∠BDE，因为tan∠BDA＝3，所以∠BDA＝π3，∠BDE＝2π3.故选B.6．如图，在△ABC中，AN→＝14NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为()A．911B．211C．311D．111答案D解析∵AN→＝14NC→，∴AC→＝5AN→，∵AP→＝mAB→＋211AC→，∴AP→＝mAB→＋1011AN→，∵P是BN上的一点，∴B，P，N三点共线，∴m＋1011＝1，∴m＝111，故选D.7．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B解析OP→－OA→＝AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，因为AB→|AB→|＋AC→|AC→|所在直线与∠A的角平分线重合，则点P的轨迹是∠A的角平分线，一定经过△ABC的内心，故选B.8．(2019·广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AP→＝13AB→，AQ→＝12AD→，若CP→·CQ→＝12，则∠ADC＝()A．5π6B．3π4C．2π3D．π2答案C解析如图所示，平行四边形ABCD中，CP→＝CB→＋BP→＝－AD→－23AB→，CQ→＝CD→＋DQ→＝－AB→－12AD→，因为CP→·CQ→＝12，所以CP→·CQ→＝－AD→－23AB→·－AB→－12AD→＝23AB→2＋12AD→2＋43AB→·AD→＝23×32＋12×22＋43×3×2×cos∠BAD＝12，则cos∠BAD＝12，即∠BAD＝π3，所以∠ADC＝π－π3＝2π3，故选C.二、填空题9．(2019·湖北四地七校联考)正三角形ABC的边长为1，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝________.答案－32解析∵正三角形ABC的边长为1，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－(BA→·BC→＋CB→·CA→＋AC→·AB→)＝－(1×1×cos60°×3)＝－32.10．(2019·安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD中，AD→＝BC→，AB→＝(2,4)，BD→＝(－3，－5)，则AC→在AB→上的投影为________．答案755解析由AD→＝BC→得四边形ABCD是平行四边形，且AD→＝AB→＋BD→＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)，则AC→＝AB→＋AD→＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，∴AC→在AB→上的投影为|AC→|cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|＝1425＝755.11．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(AB→－3AC→)⊥CB→，则角A的最大值为________．答案π6解析因为(AB→－3AC→)⊥CB→，所以(AB→－3AC→)·CB→＝0，(AB→－3AC→)·(AB→－AC→)＝0，AB→2－4AC→·AB→＋3AC→2＝0，即cosA＝|AB→|2＋3|AC→|24|AC→||AB→|＝|AB→|4|AC→|＋3|AC→|4|AB→|≥2316＝32，当且仅当|AB→|＝3|AC→