2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 解答题（八）课件 理

解答题(八)第二部分刷题型17．(2019·江西南昌一模)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．解(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AC1C，又由四棱台ABCD－A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面，所以BD⊥平面A1ACC1，所以BD⊥AA1.(2)设AC交BD于点O，连接A1O，依题意，有A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.因为CC1⊥底面ABCD，所以A1O⊥底面ABCD.以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(23，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－23，0,4)，B(0,2,0)，由A1B1→＝12AB→，得B1(－3，1,4)，因为E是棱BB1的中点，所以E－32，32，2，所以EA1→＝32，－32，2，A1C1→＝(－23，0,0)，设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，则n·A1C1→＝－23x＝0，n·EA1→＝32x－32y＋2z＝0，取z＝3，得n＝(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m＝(0,1，0)，又由图可知，二面角E－A1C1－C为锐二面角，设二面角E－A1C1－C的平面角为θ，则cosθ＝|m·n||m||n|＝45，所以二面角E－A1C1－C的余弦值为45.18．(2019·福建三明质量检查)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3(acosB＋bcosA)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD＝72，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sinB＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，所以sinB＝3sin(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，即sinB＝3sinC，所以b＝3c，又因为b＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因为b＝6，c＝2，BD＝DC＝a2，AD＝72，又因为∠ADB＋∠ADC＝π，即cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以a2＝31，所以cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝38，又因为∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝558.所以△ABC的面积S△ABC＝12bcsin∠BAC＝3554.19．(2019·湖北黄冈2月联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.①若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X表示这10件产品中质量指标值位于(187.4,225.2)的产品件数，求E(X)；②一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查．附：159≈12.6，P(μ－σXμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.9974.解(1)由题意，得x－＝170×0.025＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.32＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.025＝200，s2＝(－30)2×0.025＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.32＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.025＝159.(2)①由题意，得一件产品中质量指标值位于区间(187.4,225.2)的概率为0.6826＋0.95442＝0.8185，则X～B(10,0.8185)，∴E(X)＝10×0.8185＝8.185.②由(1)，知μ－3σ≈200－12.6×3＝162.2，μ＋3σ≈200＋12.6×3＝237.8，∵237.9∉(162.2,237.8)，∴需要对当天的生产过程进行检查．20．(2019·安徽皖南八校第三次联考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py(p0)，过抛物线的焦点F且与y轴垂直的直线与抛物线相交于A，B两点，且△OAB的周长为2＋5.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过焦点F且与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点P，求|PF|2－|MF|·|NF|的值．解(1)由题意，知焦点F的坐标为0，p2，将y＝p2代入抛物线C的方程可求得点A，B的坐标分别为－p，p2，p，p2，则|AB|＝2p，|OA|＝|OB|＝p2＋p22＝52p，可得△OAB的周长为2p＋5p，则2p＋5p＝2＋5，解得p＝1.故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)由(1)，知抛物线C的方程可化为y＝12x2，求导可得y′＝x.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋12(直线l的斜率显然存在)．联立方程y＝kx＋12，y＝12x2，整理，得x2－2kx－1＝0，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，y1y2＝14x21x22＝14.因为y1＝12x21，y′＝x1，所以直线l1的方程为y－12x21＝x1(x－x1)，即y＝x1x－12x21.同理可得直线l2的方程为y＝x2x－12x22.联立方程y＝x1x－12x21，y＝x2x－12x22，解得x＝x1＋x22，y＝x1x22，则点P的坐标为k，－12.由抛物线的几何性质，知|MF|＝y1＋12，|NF|＝y2＋12，|PF|＝k－02＋－12－122＝k2＋1，所以|MF|·|NF|＝y1＋12y2＋12＝y1y2＋12(y1＋y2)＋14＝14＋12×(2k2＋1)＋14＝k2＋1，所以|PF|2－|MF|·|NF|＝0.21．(2019·河南濮阳5月模拟)已知a∈R，函数f(x)＝ln(x＋1)－x2＋ax＋2.(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)设正实数m1，m2满足m1＋m2＝1，求证：对(－1，＋∞)上的任意两个实数x1，x2，总有f(m1x1＋m2x2)≥m1f(x1)＋m2f(x2)成立．解(1)由题意，知f′(x)＝1x＋1－2x＋a，∵函数f(x)在[2，＋∞)上为减函数，即f′(x)≤0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x－1x＋1在x∈[2，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x－1x＋1，当x≥2时，1x＋1单调递减，2x单调递增，∴h(x)在[2，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(2)＝4－13＝113，∴a≤113，即a的取值范围为－∞，113.(2)证明：设－1x1≤x2，令F(x)＝f(m1x＋m2x2)－m1f(x)－m2f(x2)，x∈(－1，x2]，则F(x2)＝f[(m1＋m2)x2]－(m1＋m2)f(x2)＝0，∴F′(x)＝m1f′(m1x＋m2x2)－m1f′(x)＝m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]，∵m1x＋m2x2－x＝x(m1－1)＋m2x2＝－m2x＋m2x2＝m2(x2－x)≥0，∴m1x＋m2x2≥x，∵f′(x)＝1x＋1－2x＋a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－1x＋12－20，∴f′(x)在x∈(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(m1x＋m2x2)≤f′(x)，∴m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]≤0，即F′(x)≤0，∴F(x)在x∈(－1，x2]上是减函数，∴F(x)≥F(x2)＝0，即F(x)≥0，∴f(m1x＋m2x2)－m1f(x)－m2f(x2)≥0，∴x∈(－1，x2]时，f(m1x＋m2x2)≥m1f(x)＋m2f(x2)，∵－1x1≤x2，∴f(m1x1＋m2x2)≥m1f(x1)＋m2f(x2)．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ0≤θπ2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，OQ→＝23QP→，求动点P的极坐标方程．解(1)联立ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，解得cosθ＝±32，∵0≤θπ2，∴θ＝π6，ρ＝23，∴所求交点的极坐标为23，π6.(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cosθ0，θ0∈0，π2，由已知OQ→＝23QP→，得ρ0＝25ρ，θ0＝θ，∴25ρ＝4cosθ，θ∈0，π2，故动点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈0，π2.23．已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)当m＝5时，求不等式f(x)2的解集；(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．解(1)当m＝5时，f(x)＝3x＋6，x－1，－x＋2，－1≤x≤1，4－3x，x1.由f(x)2解得不等式的解集为x－43x0.(2)由二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该函数在x＝－1处取得最小值2，因为f(x)＝3x＋1＋m，x－1，－x－3＋m，－1≤x≤1，－3x＋m－1，x1在x＝－1处取得最大值m－2，所以要使二次函数与y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4.本课结束