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当前位置:首页 > 临时分类 > 2020版八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形课件 (新版)湘教版
2.7正方形【知识再现】1.菱形的四条边都_________,矩形的四个角都为_________.2.菱形的对角线互相_________,矩形的对角线_________.相等直角垂直相等【新知预习】阅读教材P72-P74,归纳结论:1.定义:有一组邻边_________且有一个角是_________的平行四边形叫作正方形.(正方形既是矩形又是菱形).相等直角2.性质:①正方形的四条边_________,四个角都是_________.②正方形的两条对角线相等,并且互相_____________.每条对角线_________一组对角.③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.相等直角垂直平分平分3.判定:①矩形+一组邻边_________=正方形;②矩形+对角线互相_________=正方形;③菱形+一个角为_________=正方形;④菱形+对角线_________=正方形.相等垂直直角相等【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.(2019·成都简阳期末)正方形具有而菱形不一定具有的特征有()CA.对角线互相垂直平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角2.(2019·辽阳期末)如图所示,在正方形ABCD中,E是AC上的一点,且AB=AE,则∠EBC的度数是()A.45度B.30度C.22.5度D.20度C知识点一正方形的性质(P73例1拓展)【典例1】(2019·长沙中考)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF.(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.(2)略ABAD,BAEADF,AEDF,【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线”1.边:四条边都相等且每组对边平行.2.角:四个角都是直角.3.对角线:两条对角线相等且互相垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.【题组训练】1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.对角线平分一组对角C.对角线互相平分D.对角线互相垂直C★2.如图,正方形ABCD的四个顶点A,B,C,D正好分别在四条平行线l1,l2,l3,l4上.若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm,则正方形ABCD的面积为()世纪金榜导学号CA.4cm2B.5cm2C.20cm2D.30cm2★3.(2019·聊城阳谷一模)如图,将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中点M的坐标为世纪金榜导学号()A.(,1)B.(1,)C.(,)D.(,)333333232B★★4.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A32A.5B.10C.D.22知识点二正方形的判定(P73例2拓展)【典例2】已知:如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.【思路点拨】先由BF∥CE,CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形,又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形,又BE=CE得出邻边相等的矩形是正方形.【自主解答】∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形,又∵在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,BE=CE,∴四边形BECF是正方形.【学霸提醒】判定正方形的一般思路【题组训练】1.(2019·白银靖远期末)在四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,能判定这个四边形为正方形的是()DA.AD∥BC,∠B=∠DB.AC=BD,AB=CD,AD=BCC.OA=OC,OB=OD,AB=BCD.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD★2.如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点,且∠ACB=______时,四边形AECF是正方形.世纪金榜导学号()DA.30°B.45°C.60°D.90°★3.(2019·云南模拟)如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是__________________________________(只需添加一个即可)∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)★★4.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点O,交BC于点E,AD∥BC,连接CD,世纪金榜导学号(1)求证:AO=EO.(2)当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形?请说明理由.解:(1)∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,又∵AE⊥BD,∴BO=DO,又∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD≌△EOB,∴AO=EO.(2)当△ABC满足∠ABC=90°时,四边形ABED是正方形.理由:∵△AOD≌△EOB,∴AD=BE,又∵AD∥BE,AE⊥BD,∴四边形ABED是菱形,∴当∠ABC=90°时,菱形ABED是正方形,即当△ABC满足∠ABC=90°时,四边形ABED是正方形.【火眼金睛】如图,点E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,若AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.【正解】四边形EFMN是正方形,理由:∵AE=BF=CM=DN,∴AN=DM=CF=BE,∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE.∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN.∴四边形EFMN是菱形.∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,∴∠ENA+∠DNM=90°,∴∠ENM=90°.∴四边形EFMN是正方形.【一题多变】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,∠ADE=∠CDF.世纪金榜导学号(1)求证:AE=CF.(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG,FG,判断四边形DEGF是怎样的四边形,并说明理由.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴DA=DC,∠A=∠C=90°,在△DAE和△DCF中,∴△DAE≌△DCF,∴AE=CF.ADECDF,DADC,AC,===(2)四边形DEGF是菱形,∵△DAE≌△DCF,∴DE=DF,∵AE=CF,∴BE=BF,∴DG是EF的垂直平分线,∴GE=GF,∵OG=OD,DG⊥EF,∴ED=EG,∴DE=EG=GF=FD,∴四边形DEGF是菱形.【母题变式】【变式一】(变换条件与问法)已知:在菱形ABCD中,E,F在BD上,∠ABC=45°,BE=DF=AE,求证:四边形AECF是正方形.证明:如图,连接AC交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,AB=AD,∠ABE=∠ABC=22.5°.∵BE=DF,∴OE=OF,又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,12∵AC⊥BD,∴四边形AECF是菱形,∴AE=AF,∵AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=22.5°,∴∠AEF=∠ABE+∠BAE=45°,∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=45°,∴∠EAF=90°,∴菱形AECF是正方形.【变式二】(变换条件与问法)如图,在边长为2的正方形ABCD中,AE⊥DH于E,BF⊥AE于F,CG⊥BF于G,DH⊥CG于H,且∠ABF=∠BCG=∠CDH=∠DAE=30°.(1)求证:四边形EFGH为正方形.(2)求正方形EFGH的面积.解:(1)∵AE⊥DH,DH⊥CG,∴AE∥CG,同理:BF∥DH,∴四边形EFGH是平行四边形,∵AE⊥DH,∴∠FEH=90°,∴平行四边形EFGH是矩形,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE,BF=AE,∴FG=FE,∴矩形EFGH是正方形.ABFDAE,AFBAED90,ABAD(2)在Rt△ABF中,∠ABF=30°,AB=2,∴AF=1,BF=,同理:AE=,∴EF=AE-AF=-1,∴S正方形EFGH=EF2=(-1)2=4-2.33333
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