2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间角与空间

第三章空间向量与立体几何第3课时空间角与空间距离[学习目标]1.向量法求解线线、线面、面面的夹角(重点)．2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难点)．3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．[知识提炼·梳理]1．两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cosθ＝|cosφ|＝|a·b||a||b|.2．直线与平面的夹角(1)定义：平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角，特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为π2．(2)直线与平面所成角的求法．①几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．②向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成角为θ，a与n的夹角为φ，则有cosθ＝sinφ，或sinθ＝|cosφ|＝|a·n||a||n|.温馨提示直线与平面夹角范围为0，π2.3．二面角的有关概念(1)①定义．平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，记为α­l­β.②二面角的平面角．二面角的大小，是用它的平面角来度量的，一个平面垂直于二面角α­l­β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫作二面角α­l­β的平面角．(2)二面角的求法．①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解．②向量法：设二面角α­l­β的大小为θ，两个半平面的法向量分别为n1，n2.当平面α，β的法向量与α，β的关系如下图所示时，二面角α­l­β的平面角即为两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉．当平面α，β的法向量与α，β的关系如下图所示时，二面角α­l­β的平面角与两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉互补．θ为锐角或直角时，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1|·|n2|；θ为钝角时，cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.温馨提示此处只需搞清楚θ是锐角、直角还是钝角，不必弄清楚θ与〈n1，n2〉是相等还是互补．4．(1)空间两点间的距离．已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离dAB＝|AB→|＝（a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2.(2)点到平面的距离的求法．点P到它在一个平面α内射影的距离，叫作点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝|PA→·n||n|.[思考尝试·夯基]1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成的角的余弦值为()A.52266B．－52266C.52222D．－52222答案：A2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝2π3，则l与α所成的角为()A.2π3B.π3C.π6D.5π6答案：C3．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为________．答案：45°5．已知A∈α，P∉α，PA→＝－32，12，2，平面α的一个法向量n＝0，－12，－2，则点P到平面α的距离为________．解析：d＝|PA→·n||n|＝|－14－2|14＋2＝32.答案：32类型1求两条异面直线所成的角(自主研析)[典例1]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝12AD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)设E是棱PD上一点，且PE＝13PD，求异面直线AE与PB所成的角的余弦值．证明：如图所示，建立空间直角坐标系A-xyz.因为PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°角，所以∠PBA＝60°，取AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，3)，D(0，2，0)．(1)因为AC→＝(1，1，0)，AP→＝(0，0，3)，CD→＝(－1，1，0)，所以AC→·CD→＝－1＋1＋0＝0，AP→·CD→＝0.所以AC⊥CD，AP⊥CD，又AC⊂面PAC，APC⊂面PAC，且AC∩AP＝A，所以CD⊥平面PAC.又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.(2)解：可得PE→＝13PD→，所以E0，23，233，所以AE→＝0，23，233.又PB→＝(1，0，－3)，所以AE→·PB→＝－2.所以cos〈AE→，PB→〉＝AE→·PB→|AE→|·|PB→|＝－243×2＝－34.所以异面直线AE与PB所成的角的余弦值为34.归纳升华向量法求异面直线夹角的注意事项1．范围：两异面直线夹角范围为0，π2，注意两异面直线夹角的范围是解题的关键．2．向量法：利用向量求解异面直线夹角时，只需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．但需注意二者范围的区别．3．转化：设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝a·b|a||b|(其中φ为异面直线a，b的夹角)．[变式训练]如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝π3，DC＝DD1＝2，DA＝3，∠ADC＝π2，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，D1(0，1，3)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，由AA1→＝DD1→得A1(3，1，3)．因为A1C→＝DC→－DA1→＝(－3，1，－3)．D1A→＝DA→－DD1→＝(3，－1，－3)，所以cos〈A1C→，D1A→〉＝A1C→·D1A→|A1C→|·|D1A→|＝（－3，1，－3）·（3，－1，－3）7·7＝－17.所以异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为17.类型2求直线与平面所成的角(互动探究)[典例2]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.(2)解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，12，12，则BC→＝(1，1，0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0，1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝|n·AD→||n||AD→|＝63，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.[迁移探究1](改变问法)求直线AB与平面MBC所成角的正弦值．解：由例题的空间直角坐标系可知，BA→＝(0，0，1)，平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线BA与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BA→〉|＝|n·BA→||n|·|BA→|＝33.即直线AB与平面MBC所成角的正弦值为33.[迁移探究2](改变问法)求异面直线AB与直线CM所成角的余弦值．解：由例题的空间直角坐标系可知，BA→＝(0，0，1)，CM→＝－1，－12，12，所以cos〈BA→，CM→〉＝|BA→·CM→||BA→|·|CM→|＝66.即异面直线AB与直线CM所成角的余弦值为66.归纳升华若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：类型3求二面角(误区警示)[典例3]正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角A­BD1­C的大小．错解：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．由题意知DA1→是平面ABD1的一个法向量，DA1→＝(1，0，1)，DC1→是平面BCD1的一个法向量，DC1→＝(0，1，1)，所以cos〈DA1→，DC1→〉＝DA1→·DC1→|DA1→|·|DC1→|＝12.所以〈DA1→，DC1→〉＝60°.即二面角A­BD1­C的大小为60°.易错提示：用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误，根据法向量的方向可知，二面角为钝角，而不是锐角．防范措施：利用法向量求二面角时，要注意法向量的夹角与二面角的大小关系是相等或互补，在求出两向量的夹角后，一定要观察图形或判断法向量的方向来确定所求二面角与其相等还是互补．解：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．由题意知DA1→＝(1，0，1)是平面ABD1的一个法向量，DC1→＝(0，1，1)是平面BCD1的一个法向量．所以cos〈DA1→，DC1→〉＝DA1→·DC1→|DA1→|·|DC1→|＝12，所以〈DA1→，DC1→〉＝60°.由题意知所求二面角为钝角，所以二面角A­BD1­C的大小为120°.[类题尝试]如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则由题意可知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，设AC的中点为M，连接BM，则BM⊥AC，又由题意知BM⊥CC1，又AC∩CC1＝C，所以BM⊥平面A1C1C，即BM→＝(1，1，0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)．A1C→＝(－2，2，－2)，A1B1→＝(－2，0，0)，所以n·A1B1→＝－2x＝0，n·A1C→＝－2x＋2y－2z＝0，令z＝1，可得n＝(0，1，1)．设法向量n与BM→的夹角为φ，二面角B1A1CC1的大小为θ，显然θ为锐角．所以cosθ＝|cosφ|＝|n·BM→||n||BM→|＝12，解得θ＝π3，所以二面角B1A1CC1的大小为π3.类型4利用空间向量求点到平面的距离[典例4]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)．所以AG→＝(0，1，0)，GE→＝(－2，1，1)，GF→＝(－1，－1，2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则n·GE→＝0，n·GF→＝0，所以－2x＋y＋z＝0，－x－y＋2z＝0.所以x＝z，y＝z.令z＝1，此时n＝(1，1，1)，所以d＝|A