2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理 第二课时 正弦定理的应用课件 苏

第二课时正弦定理的应用预习课本P9～11，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？[新知初探]三角形的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝＝.12bcsinA12acsinB[点睛]三角形的面积公式S＝12absinC与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12absinC适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()√×√解析：(1)正确，S＝12absinC适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝()A.32B.332C.3D．3解析：S△ABC＝12absinC＝12×2×3×32＝332.答案：B3．已知A，B两岛相距10nmile，从A岛看B，C两岛的视角是60°，从B岛看A，C两岛的视角是75°，则B，C两岛的距离为________nmile.解析：如图所示：易知C＝45°，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，∴BC＝ABsinAsinC＝56.答案：564．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．解析：因为S△ABC＝3，BC＝2，C＝60°，所以3＝12×2×AC×32，解得AC＝2，所以△ABC为正三角形，所以AB＝2.答案：2正弦定理的实际应用[典例]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[解]在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsinβ＝ssin[180°－α＋β]，即BCsinβ＝ssinα＋β.∴BC＝sinβsinα＋β·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tanθ.∴AB＝BC·tanθ＝sinβ·tanθsinα＋β·s.解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．[活学活用]如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：设MN＝xm，则MA＝2x3m.在△ABC中，BC＝100m，则AC＝1002m，在△MAC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得ACsin∠AMC＝MAsin∠MCA，则1002sin45°＝2x3sin60°，解得x＝150(m)．答案：150利用正弦定理判断三角形形状[典例](1)在△ABC中，cosAa＝cosBb＝cosCc，试判断△ABC的形状；(2)在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC．试判断△ABC的形状．[解](1)(化边为角)根据正弦定理，得到cosAsinA＝cosBsinB＝cosCsinC，整理为1tanA＝1tanB＝1tanC.∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．(2)(化角为边)由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2R2＝b2R2＋c2R2，即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB.∴2sinB·cosC＝2sin2B＝sinA＝1.∴sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．∴△ABC是等腰直角三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．[活学活用]1．在△ABC中，若cosCb＝cosBc，判断△ABC的形状．解：根据正弦定理，得到2RsinCcosC＝2RsinBcosB，即12sin2B＝12sin2C，则sin2B＝sin2C，∴B＝C或2B＝π－2C，∴B＝C或B＋C＝π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．2．在△ABC中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC的形状．解：法一：(化角为边)∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·a2R＝b·b2R.∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二：(化边为角)∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，故△ABC为等腰三角形.与三角形的面积有关问题[典例]在△ABC中，已知B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解]由正弦定理，得sinC＝AB·sinBAC＝32，又AB·sinBACAB，故该三角形有两解：C＝60°或120°.∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sinA＝3.∴△ABC的面积为23或3.(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用]1．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A的大小为()A．60°或120°B．60°C．120°D．30°或150°解析：由S△ABC＝12bcsinA得32＝12×2×3×sinA，所以sinA＝32，故A＝60°或120°，故选A.答案：A2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝3，则△ABC的面积为________．解析：在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝3，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝12×1×3×12＝34.答案：34