2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末复习课件 新人教A版必修1

第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习1知识系统整合2规律方法收藏1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．6．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．3学科思想培优一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．1．求定义域[典例1](1)函数y＝132x－1－27的定义域是()A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－2](2)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2]解析(1)由题意得132x－1－27≥0，所以132x－1≥27，即132x－1≥13－3，又指数函数y＝13x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.(2)要使函数式有意义，需x＋10，lnx＋1≠0，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2，得x∈(－1,0)∪(0,2]．2.比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．[典例2]若0xy1，则()A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4yD.14x14y解析因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，正确．对于D，函数y＝14x在R上单调递减，故14x14y，错误．[典例3]比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．解解法一：∵00.3212＝1，log20.3log21＝0,20.320＝1，∴log20.30.3220.3.解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.30.3220.3.3．与指数、对数函数相关的单调性问题[典例4]是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．解设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．当a1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足12a≤2，g2＝4a－20，解得a12，∴a1.当0a1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是减函数，故应满足12a≥4，g4＝16a－40，此不等式组无解．综上可知，当a1时，f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上为增函数．二、基本初等函数的图象问题对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．1．图象的变换[典例5]为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴只需将y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lgx＋310的图象．2．根据图象比较底数或指数的大小[典例6]如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图象，则a，b，c，d的大小关系为()A．abcdB．abdcC．bacdD．badc解析作直线x＝2(也可作直线x＝12)，如图所示，直线与4个幂函数图象交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a2b2c2d，而函数y＝2x为增函数，所以abcd.3．根据函数解析式确定图象[典例7]已知f(x)＝ax－2，g(x)＝logax(a0，a≠1)，若f(4)·g(4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是()解析由f(4)·g(4)0知a2·loga40，∴loga40，∴0a1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都是减函数．三、等价转化思想的体现一般来说，小题对指数函数、对数函数、幂函数的考查，仅限于这三类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这三类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这三类函数来处理．[典例8]已知函数f(x)＝13x，如果x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．解∵x∈[－1,1]，∴13x∈13，3.∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝132x－2a13x＋3＝13x－a2＋3－a2.令t＝13x，则t∈13，3.若a13，则当t＝13，即x＝1时，ymin＝19－2a3＋3＝289－2a3.若13≤a≤3，则当t＝a，即x＝log13a时，ymin＝3－a2.若a3，则当t＝3，即x＝－1时，ymin＝9－6a＋3＝12－6a.综上可知：g(a)＝289－2a3a13，3－a213≤a≤3，12－6aa3.