（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程课件

数学第九章平面解析几何第3讲圆的方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破1．圆的定义及方程定义平面内到______的距离等于______的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心____________半径为______定点定长(a，b)r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：__________________圆心：____________半径r＝__________________D2＋E2－4F0－D2，－E212D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2______r2.＞＝＜[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()√×√√√[教材衍化]1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案：A2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.所以圆心坐标为(2，－3)，半径为13.答案：(2，－3)133．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10[易错纠偏](1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标．1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.答案：(－1，1)3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，所以|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．主要命题角度有：(1)由已知条件求圆的方程；(2)由圆的方程确定参数的值(范围)．求圆的方程(高频考点)角度一由已知条件求圆的方程(1)圆心在曲线y＝2x(x0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25(2)(2020·浙江百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．【解析】(1)由圆心在曲线y＝2x(x0)上，设圆心坐标为a，2a，a0.又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝2a＋2a＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号．所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)．设所求圆的圆心为C(a，b)，则有2a－b－3＝0，b＝－12（a－4），解得a＝2，b＝1，所以C(2，1)，所以半径r＝|CA|＝（5－2）2＋（2－1）2＝10，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.【答案】(1)A(2)(x－2)2＋(y－1)2＝10角度二由圆的方程确定参数的值(范围)(1)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．【解析】(1)将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，即（0＋a）2＋（0＋1）22a，所以原点在圆外．(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－540，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.【答案】(1)B(2)(－2，－4)5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．1．(2020·宁波十校联考)若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，即3a2＋4a－40，解得－2a23.又a∈－2，0，1，34，所以仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆．2．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________________．解析：设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a＝2b0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝43．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝9与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．主题命题角度有：(1)借助几何性质求最值；(2)建立函数关系求最值．与圆有关的最值问题(高频考点)角度一借助几何性质求最值已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(变问法)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度二建立函数关系求最值(2020·义乌模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为________．【解析】由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.【答案】12求解与圆有关的最值问题的方法1．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案：72．(2020·杭州学军中学高三调研)已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，则n－3m＋2的最大值为________，最小值为________．解析：因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝22，记点Q(－2，3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.答案：2＋32－33．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________________．解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线AB的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝|－ab|a2＋b2＝2，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝a2＋b2＝ab2≥22，所以|AB|的最小值为22，此时a＝