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-1-第2课时单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(重点、难点)2.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.(重点)3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算,提升数学运算素养.2.结合函数图象,培养直观想象素养.解析式y=sinxy=cosx图象值域[-1,1][-1,1]单调性在-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z上单调递增,在π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z上单调递减在[-π+2kπ,2kπ],k∈Z上单调递增,在[2kπ,π+2kπ],k∈Z上单调递减最值x=π2+2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=-π2+2kπ,k∈Z时,ymin=-1x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1思考:y=sinx和y=cosx在区间(m,n)(其中0<m<n<2π)上都是减函数,你能确定m的最小值、n的最大值吗?提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知m=π2,n=π.-2-1.函数y=-cosx在区间-π2,π2上是()A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数C[因为y=cosx在区间-π2,π2上先增后减,所以y=-cosx在区间-π2,π2上先减后增.]2.函数y=sinxπ4≤x≤5π6的值域为________.12,1[因为π4≤x≤5π6,所以12≤sinx≤1,即所求的值域为12,1.]3.函数y=2-sinx取得最大值时x的取值集合为________.xx=2kπ-π2,k∈Z[当sinx=-1时,ymax=2-(-1)=3,此时x=2kπ-π2,k∈Z.]4.若cosx=m-1有意义,则m的取值范围是________.[0,2][因为-1≤cosx≤1,要使cosx=m-1有意义,须有-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数y=cosx在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.(2)已知函数f(x)=2sinπ4+2x+1,求函数f(x)的单调递增区间.[思路点拨](1)确定a的范围→y=cosx在区间[-π,a]上为增函数→y=cosx在区间[-π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a的范围.(2)确定增区间→令u=π4+2x→y=2sinu的单调递增区间.(1)(-π,0][(1)因为y=cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].](2)[解]令u=π4+2x,函数y=2sinu的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,由-π2+2kπ≤π4+2x≤π2+2kπ,k∈Z,-3-得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z.所以函数f(x)=2sinπ4+2x+1的单调递增区间是-3π8+kπ,π8+kπ,k∈Z.1.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A0,ω0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A0,ω0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律.1.(1)函数y=sin3x+π6,x∈-π3,π3的单调递减区间为________.(2)已知函数y=cosπ3-2x,则它的单调减区间为________.(1)-π3,-2π9,π9,π3(2)kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)[(1)由π2+2kπ≤3x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π9+2kπ3≤x≤4π9+2kπ3(k∈Z).又x∈-π3,π3,所以函数y=sin3x+π6,x∈-π3,π3的单调递减区间为-π3,-2π9,π9,π3.(2)y=cosπ3-2x=cos2x-π3,由2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,∴单调递减区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).]利用三角函数的单调性比较大小-4-【例2】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.(1)sin-π18与sin-π10;(2)sin196°与cos156°;(3)cos-235π与cos-174π.[思路点拨]用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[解](1)∵-π2<-π10<-π18<π2,∴sin-π18>sin-π10.(2)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°,cos156°=cos(180°-24°)=-cos24°=-sin66°,∵0°<16°<66°<90°,∴sin16°<sin66°,从而-sin16°>-sin66°,即sin196°>cos156°.(3)cos-235π=cos235π=cos4π+35π=cos35π,cos-174π=cos174π=cos4π+π4=cosπ4.∵0<π4<35π<π,且y=cosx在[0,π]上是减函数,∴cos35π<cosπ4,即cos-235π<cos-174π.三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到-π2,π2或π2,3π2内;-5-对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2.(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是()A.sinα<sinβB.cosα<sinβC.cosα<cosβD.cosα>cosβ(2)比较下列各组数的大小:①cos15π8,cos14π9;②cos1,sin1.(1)B[α,β为锐角三角形的两个内角,α+β>π2,α>π2-β,α∈0,π2,π2-β∈0,π2,所以cosα<cosπ2-β=sinβ.](2)[解]①cos15π8=cosπ8,cos14π9=cos4π9,因为0<π8<4π9<π,而y=cosx在[0,π]上单调递减,所以cosπ8>cos4π9,即cos15π8>cos14π9.②因为cos1=sinπ2-1,而0<π2-1<1<π2且y=sinx在0,π2上单调递增,所以sinπ2-1<sin1,即cos1<sin1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1.函数y=sinx+π4在x∈[0,π]上最小值是多少?提示:因为x∈[0,π],所以x+π4∈π4,5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为-6--22.2.函数y=Asinx+b,x∈R的最大值一定是A+b吗?提示:不是.因为A0时最大值为A+b,若A0时最大值应为-A+b.【例3】(1)函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为________.(2)已知函数f(x)=asin2x-π3+b(a>0).当x∈0,π2时,f(x)的最大值为3,最小值是-2,求a和b的值.[思路点拨](1)先用平方关系转化,即cos2x=1-sin2x,再将sinx看作整体,转化为二次函数的值域问题.(2)先由x∈0,π2求2x-π3的取值范围,再求sin2x-π3的取值范围,最后求f(x)min,f(x)max,列方程组求解.(1)[-4,0][y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.因为-1≤sinx≤1,所以-4≤y≤0,所以函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为[-4,0].](2)[解]∵0≤x≤π2,∴-π3≤2x-π3≤2π3,∴-32≤sin2x-π3≤1,∴f(x)max=a+b=3,f(x)min=-32a+b=-2.由a+b=3,-32a+b=-2,得a=2,b=-2+3.1.求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合.[解]因为y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2,所以当sinx=-1时,ymin=-4,此时x的取值集合为xx=2kπ-π2,k∈Z.-7-2.将本例(1)中函数改为y=cos2x+sinx,x∈R结果又如何?[解]y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-sinx-122+54.因为-1≤sinx≤1,所以-1≤y≤54,所以函数y=cos2x+sinx,x∈R的值域为-1,54.三角函数最值问题的常见类型及求解方法:1y=asin2x+bsinx+ca≠0,利用换元思想设t=sinx,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.2y=Asinωx+φ+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sinωx+φ的范围,最后得最值.1.确定三角函数单调区间的方法有多种,如换元法、列表法、图象法等,解题时需适当选取,同时要注意,求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行.2.函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域,求三角函数值域的方法很多,如果函数式中含有多个三角函数式,往往要先将函数式进行变形.1.思考辨析(1)y=sinx在(0,π)上是增函数.()(2)cos1>cos2>cos3.()(3)函数y=-12sinx,x∈0,π2的最大值为0.()[提示](1)错误.y=sinx在0,π2上是增函数,在π2,π上是减函数.(2)正确.y=cosx在(0,π)上是减函数,且0<1<2<3<π,所以cos1>cos2>cos3.(3)正确.函数y=-12sinx在x∈0,π2上为减函数,故当x=0时,取最大值0.[答案](1)×(2)√(3)√2.y=2cosx2的值域是()A.[-2,2]B.[0,2]-8-C.[-2,0]D.RA[因为x∈R,所以x2≥0,所以y=2cosx2∈[-2,2].]3.sin2π7________sin-15π8(填“>”或“<”).>[sin-15π8=sin-2π+π8=sinπ8,因为0<π8<2π7<π2,y=sinx在0,π2上是增函数,所以sinπ8<sin2π7,即sin2π7>sin-15π8.]4.函数y=1-sin2x的单调递增区间.[解]求函数y=1-sin2x的单调递增区间,转化为求函数y=sin2x的单调递减区间,由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z,即函数的单调递增区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2课
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