2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换讲义 新人教A

-1-5.5.2简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.半角公式(1)sinα2＝±1－cosα2，(2)cosα2＝±1＋cosα2，(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα，(4)tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2C[∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，-2-又cos2α2＝1＋cosα2，∴cosα＝－1＋cosα2.]2．已知cosα＝35，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A.55B．－55C.45D.255A[由题知α2∈3π4，π，∴sinα20，sinα2＝1－cosα2＝55.]3．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于________．－3[由sinθ＝－35，cosθ＜0得cosθ＝－45，∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ22cos2θ2＝sinθ1＋cosθ＝－351＋－45＝－3.]化简求值问题【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2(2)已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[思路点拨](1)先确定θ4的范围，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cosθ＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．-3-(1)D[∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.](2)[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cosα2＜0，sinα2＞0，∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．-4-1．已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2.[解]法一：∵180°θ270°，∴90°θ2135°，即θ2是第二象限角，∴tanθ20，∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.法二：∵180°θ270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝1－cosθsinθ＝1－－35－45＝－2.三角恒等式的证明【例2】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[思路点拨]法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα-5-＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2．求证：2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.[证明]左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合-6-【例3】已知函数f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.[思路点拨]化为fx＝Asinωx＋φ＋b→由T＝2π|ω|求周期→分析fx在－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式[解](1)f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx＝32cos2x＋32sin2x－sin2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，所以T＝2π2＝π.(2)证明：令t＝2x＋π3，因为－π4≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6，因为y＝sint在－π6，π2上单调递增，在π2，5π6上单调递减，所以f(x)≥sin－π6＝－12，得证．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.3．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解](1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12-7-＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为xx＝kπ＋5π12，k∈Z.三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？[思路点拨]设∠AOB＝α→建立周长lα→求l的最大值[解]设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsinα＋π4＋R.∵0απ2，∴π4α＋π43π4，-8-∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB的周长最大．1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．[解]如图所示，设∠AOB＝αα∈0，π2，则AB＝Rsinα，OA＝Rcosα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2Rcosα·Rsinα＝R2·2sinαcosα＝R2sin2α.∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，Smax＝R2.这时点A，D到点O的距离为22R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2．若例4中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解]如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈0，π6，在Rt△MOE中，ME＝Rsinα，OM＝Rcosα，在Rt△ONH中，NHON＝tanπ6，得ON＝3NH＝3Rsinα，则MN＝OM－ON＝R(cosα－3sinα)，设矩形EFGH的面积为S，则S＝2ME·MN＝2R2sinα(cosα－3sinα)＝R2(sin2α＋3cos2α－3)＝2R2sin2α＋π3－3R2，由α∈0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，-9-所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，Smax＝(2－3)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx±3cosx＝2sinx±π3等.1．思考辨析(1)cos