（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案

-1-第2讲三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A．15B．55C．33D．255解析：选B．由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A．89B．79C．－79D．－89解析：选B．cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A．725B．15C．－15D．－725解析：选D．因为cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22(sinα＋cosα)＝35，所以sinα＋cosα＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D．题型二三角形中的边角计算问题-2-1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25解析：选A．因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.故选A．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________．解析：因为cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6365，由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，-3-故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.题型三与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6解析：选C．根据题意及三角形的面积公式知12absinC＝a2＋b2－c24，所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC，所以在△ABC中，C＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.答案：633．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得-4-sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin(120°－C)sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.[明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．三角恒等变换与求值[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：选D．由正切函数的周期性可知，tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D．-5-2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cosπ4－α＝45，则sin2α＝()A．15B．－15C．725D．－725解析：选C．法一：因为cosπ4－α＝45，所以sin2α＝sinπ2－2π4－α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×452－1＝725.故选C．法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cosθ＝45，所以sin2α＝sin2π4－θ＝sinπ2－2θ＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×452－1＝725.故选C．法三：因为cosπ4－α＝45，所以22(cosα＋sinα)＝45，所以cosα＋sinα＝425，平方得1＋sin2α＝3225，得sin2α＝725.故选C．3．已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________．解析：因为α∈0，π2，tanα＝2，所以sinα＝255，cosα＝55，所以cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22×255＋55＝31010.答案：310104．(2019·江西七校第一次联考)若0απ2，－π2β0，cosα＋π4＝13，sinβ2＋π4＝33，则cos(2α＋β)＝________．解析：因为0απ2，所以π4α＋π43π4，又cosα＋π4＝13，所以sinα＋π4＝223，-6-sin2α＋π4＝2sinα＋π4cosα＋π4＝429，cos2α＋π4＝2cos2α＋π4－1＝－79.因为－π2β0，所以0β2＋π4π4，又sinβ2＋π4＝33，所以cosβ2＋π4＝63，sin2β2＋π4＝2sinβ2＋π4cosβ2＋π4＝223，cos2β2＋π4＝1－2sin2β2＋π4＝13.所以cos(2α＋β)＝－cos2α＋π4＋2β2＋π4＝－cos2α＋π4cos2β2＋π4＋sin2α＋π4·sin2β2＋π4＝2327.答案：2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a(cosC＋33sinC)，a＝2，c＝263，则角C＝()A．3π4B．π3-7-C．π6D．π4(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC＋bsinC＝a.①求角B的大小；②若BC边上的高等于14a，求cosA的值．【解】(1)选D．由b＝acosC＋33sinC，得sinB＝sinAcosC＋33sinC.因为sinB＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋33sinAsinC(sinC≠0)，即cosA＝33sinA，所以tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝22.因为0C2π3，所以C＝π4.故选D．(2)①由bcosC＋bsinC＝a，得sinBcosC＋sinBsinC＝sinA.因为A＋B＋C＝π，所以sinBcosC＋sinBsinC＝sin(B＋C)，即sinBcosC＋sinBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，因为sinC≠0，所以sinB＝cosB．因为B∈(0，π)，所以B＝π4.②设BC边上的高为AD，则AD＝14a.因为B＝π4，所以BD＝AD＝14a，所以CD＝34a，所以AC＝AD2＋DC2＝104a，AB＝24a.由余弦定理得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝－55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角．(2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第-8-三角．[技能]利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．命题角度二求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD＝1，E为AC的中点，AE＝32，cosB＝277，∠ADB＝2π3.(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解】(1)在△ABD中，因为cosB＝277，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝1－2772＝217，所以sin∠BAD＝sin(B＋∠ADB)＝217×－12＋277×32＝2114.由正弦定理知ADsinB＝BDsin∠BAD，得AD＝BD·sinBsin∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD＝2，依题意得AC＝2AE＝3，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，即9＝4＋DC2－2×2×DCcosπ3，所以DC2－2DC－5＝0，解得DC＝1＋6(负值舍去)，所以S△ACD＝12AD·DCsin∠ADC＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S△ADE＝12S△ACD＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一