2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课时作业

-1-第1讲直线与圆限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．(2020·成都二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：C[由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－sinAa，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝bsinB，故k1k2＝－sinAa·bsinB＝－1，则直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.]2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34解析：D[点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或－34.]3．(2020·广州模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.2B．22C．32D．42解析：C[由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据两平行线间的距离公式得，|m＋7|2＝|m＋5|2，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为|－6|2＝32.]4．(2020·河南六校联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O是坐标原-2-点，向量OA→，OB→满足|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则实数a的值为()A．1B．2C．±1D．±2解析：C[由OA→，OB→满足|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，得OA→⊥OB→，因为直线x＋y＝a的斜率是－1，所以A，B两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14解析：B[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝－2＋－2－2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.故选B.]6．(2020·温州模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.33B.34C.14D.3－33解析：D[当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝|2k|k2＋1＞2，解得k＞1或k＜－1，又k∈[－3，3]，所以－3≤k＜－1或1＜k≤3，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D.]7．(2019·潍坊三模)已知O为坐标原点，A，B是圆C：x2＋y2－6y＋5＝0上两个动点，且|AB|＝2，则|OA→＋OB→|的取值范围是()A．[6－23，6＋23]B．[3－3，3＋3]C．[3,9]D．[3,6]解析：A[圆C：x2＋(y－3)2＝4，取弦AB的中点M，连接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|＝2，|MA|＝1，则|CM|＝|CA|2－|MA|2＝3，则点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3，则-3-|OA→＋OB→|＝2|OM→|∈[6－23，6＋23]．]8．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是()A．0m1B．m1C．－2m1D．－3m1解析：AC[本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为2.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝|1＋m|1＋12，所以|1＋m|2，解得－3m1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得AC符合．故选AC.]9．(2020·合肥质检)已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0,2)，B(－1,1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋y2＝5B．(x－1)2＋y2＝92C.x－122＋y－122＝5D.x－122＋y－122＝92解析：A[通解(常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(－2,3)，A(0,2)，B(－1,1)，所以|AC1|＝|BC1|＝5，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝5.可得3－b－2－a×1－2－1－0＝－1，a2＋b－2＝5，解得a＝1，b＝0或a＝－2，b＝3，则圆心C2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C2的半径为5，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.故选A.优解(特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝22＋－2＝5，即圆C2的半径为5，排除B，D；将点A(0,2)代入选项A，C，显然选项A符合．故选A.]10．(2020·惠州二测)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线3x－y＋3＝0上，且圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，则a2＋b2的值为()A．1B．2-4-C．3D．4解析：C[化圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)为标准方程得C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，其圆心为(a，b)，故3a－b＋3＝0，即b＝3a＋3，(a，b)到直线3x＋y＝0的距离d＝|3a＋b|3＋1＝|3a＋b|2＝|3a＋3a＋3|2，因为圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，故d＋1＝32|2a＋1|＋1＝1＋3，得到|2a＋1|＝2，解得a＝－32或a＝12(舍去)，故b＝3×－32＋3＝－32，故a2＋b2＝－322＋－322＝3.选C.]11．(2019·烟台三模)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是()A．[－2,6]B．[－3,5]C．[2,6]D．[3,5]解析：C[当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝－2＋t－2≤10sin45°＝20，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为___________________________________________，圆C被x轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为32.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为-5-2×22－42＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0813．(2019·哈尔滨二模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为________________．解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得x＝0，x2＋y2－2x－2y－2＝0.得x＝0，y＝1－3或x＝0，y＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝|k－1＋3|k2＋1＝|k＋2|k2＋1，∵d2＋|AB|22＝r2，∴k＋2k2＋1＋3＝4，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.答案：x＝0或3x＋4y－12＝014．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a＞0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.解析：联立两圆方程x2＋y2＝4，x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为|－5|a2＋4a2＝5a(a＞0)．故222－5a2＝22，解得a2＝52，因为a＞0，所以a＝102.答案：10215．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．解析：-6-∵AB为直径∴AD⊥BD∴BD即B到直线l的距离|BD|＝|0－2×5|12＋22＝25.∵|CD|＝|AC|＝|BC|＝r，又CD⊥AB.∴|AB|＝2|BC|＝210设A(a,2a)|AB|＝a－2＋4a2＝210⇒a＝－1或3(－1舍去)答案：316．(2020·厦门模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距31km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距33km，则垃圾处理站M与B村相距________km.解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,33)．由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,33)为圆心，31为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2＋y2＝25和(x－3)2＋(y－33)2＝31.由x2＋y2＝25，x－2＋y－332＝31，解得x＝5，y＝0或x＝－52，y＝532，∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或－52，532，∴|MB|＝2或|MB|＝－52－32＋5322＝7，即垃圾处理站M与B村相距2km或7km.答案：2或7