（新高考）2020版高考数学二轮复习 第一部分 思想方法 数学思想方法 第5讲 选填题常用解法教学案

1第5讲选填题常用解法方法一直接法方法诠释直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择适用范围涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法【例1】(1)[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)解析：因为A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|x＜1}，故选A.答案：A(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B.答案：B(3)[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝__________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4.答案：42(4)[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：解法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.解法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.答案：63方法点睛直接法的使用技巧直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确求解客观题的关键．方法二排除法方法诠释排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论适用范围这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁杂的情况【例2】(1)[2019·福建五校联考]函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的图象大致为()3解析：因为f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)·ln(e＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，据此可排除选项C(也可由f(0)＝1排除选项C)．当x→e时，f(x)→－∞，据此可排除选项B、D.故选A.答案：A(2)[2018·河北七校联考]已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的一个焦点为F(0，－2)，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为()A.x23－y2＝1B．x2－y23＝1C.y23－x2＝1D．y2－x23＝1解析：∵焦点F(0，－2)，∴焦点在y轴上，排除A，B；又选项D中渐近线方程为y＝±33x，排除D，故选C.答案：C(3)[2018·开封调研]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.－12，2∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C.－12，＋∞D.－∞，－12解析：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，夹角为π，排除C，故选A.4答案：A方法点睛排除法的使用技巧排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直接得到正确的选项．方法三特值法方法诠释1.从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等2.当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例适用范围1.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题2.求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性问题或者有多种答案的填空题，则不能使用这种方法【例3】(1)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n0)的焦点重合，若e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21解析：设C1：x24＋y2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，C2：x22－y2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，则m＝2，n＝2，e1＝32，e2＝32，所以mn，e1e2＝3221，故选A.答案：A5(2)已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB→＝a，AC→＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP→＝ma，AQ→＝nb，则1m＋1n＝()A．3B．4C．5D.13解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．方法一：如图1，PQ∥BC，则AP→＝23AB→，AQ→＝23AC→，图1此时m＝n＝23，故1m＋1n＝3，故选A.方法二：如图2，取直线BE作为直线PQ，显然，此时AP→＝AB→，AQ→＝12AC→，故m＝1，n＝12，所以1m＋1n＝3，故选A.图2答案：A(3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，又因为函数为偶函数，所以f－13－f13＝0，即ln(e－1＋1)－a3－ln(e＋1)－a3＝0，lne－1－23a＝0，解得a＝－32，将a＝－32代入原函数，检验知f(x)是偶函数，故a＝－32.6答案：－32方法点睛特值法的使用技巧特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特值法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法四构造法方法诠释构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而找到解题的方法适用范围适用于求解问题中常规方法不能解决的问题【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，若对于∀x∈R，均有f(x)f′(x)，则有()A．e2018f(－2018)f(0)，f(2018)e2018f(0)B．e2018f(－2018)f(0)，f(2018)e2018f(0)C．e2018f(－2018)f(0)，f(2018)e2018f(0)D．e2018f(－2018)f(0)，f(2018)e2018f(0)解析：构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′xex－ex′fxex2＝f′x－fxex，因为对∀x∈R，均有f(x)f′(x)，并且ex0，所以g′(x)0，故函数g(x)＝fxex在R上单调递减，所以g(－2018)g(0)，g(2018)g(0)，即f－2018e－2018f(0)，f2018e2018f(0)，也就是e2018f(－2018)f(0)，f(2018)e2018f(0)，故选D.答案：D(2)已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，7设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.答案：6π方法点睛构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．(2)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．方法五估算法方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量适用范围难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用估值法确定选项【例5】(1)已知a＝21.1，b＝30.6，c＝log123，则a，b，c的大小关系为()A．bcaB．acbC．bacD．abc解析：a＝21.10，b＝30.60，c＝log1230，a＝21.12，b＝30.6＝533532＝2.所以abc.故选D.答案：D(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则双曲线的离心率为()A.73B.548C.43D.53解析：因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以ba＝43，因为e＝caba＝43.∴e43，故选D.答案：D(3)[2017·全国卷Ⅱ，文]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解析：由题意，知12V圆柱V几何体V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.答案：B方法点睛估算法的应用技巧估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，常采用估算法．方法六图解法(数形结合法)方法诠释对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等适用范围图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算【例6】(1)已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是()9A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：设2a＋b与b的夹角是θ，由题意有|2a＋b|＝4a2＋4|a|·|b|cosπ3＋b2＝23，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|cosπ3＋b2＝6，所以cosθ＝2a＋b·b|2a＋b|·|b|＝623×2＝32，所以θ＝π6.答案：D(2)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面