2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值教案 文 新人教A版

1第3讲导数与函数的极值、最值一、知识梳理1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[提醒]极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．常用结论记住两个结论(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．二、习题改编1．(选修1­1P94例4改编)若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()2A．(－8，－4)B．[－8，－4)C．(－8，－4]D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)答案：C2．(选修1­1P99A组T6改编)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0答案：B一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；(2)混淆极值与极值点的概念；(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为．解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案：22．函数g(x)＝－x2的极值点是，函数f(x)＝(x－1)3的极值点(填“存在”或“不存在”)．解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答案：0不存在3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是，在(1，2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”)．解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．3答案：1，4不存在函数的极值问题(多维探究)角度一由图象判断函数的极值已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减B．函数f(x)在x＝2处取得极大值C．函数f(x)在x＝－4处取得极值D．函数f(x)有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.【答案】B由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．角度二求已知函数的极值已知函数f(x)＝lnx＋a－1x，求函数f(x)的极小值．【解】f′(x)＝1x－a－1x2＝x－（a－1）x2(x0)，当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．当a－10，即a1时，由f′(x)0，得0xa－1，函数f(x)在(0，a－1)上单调递减；由f′(x)0，得xa－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；4当a1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三已知函数的极值求参数值(范围)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝12.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a1，则当x∈1a，1时，f′(x)0;当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－10，所以f′(x)0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．51．(2020·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A．4e－2B．4e2C．e－2D．e2解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x0或x－2时，f′(x)0，f(x)是增函数；当－2x0时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以当x＝－2时，f(x)取得极大值，f(－2)＝4e－2.故选A.2．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝．解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.答案：－73．已知函数f(x)＝ex(－x＋lnx＋a)(e为自然对数的底数，a为常数，且a≤1)．判断函数f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由．解：f′(x)＝ex(lnx－x＋1x＋a－1)，令g(x)＝lnx－x＋1x＋a－1，x∈(1，e)，则f′(x)＝exg(x)，g′(x)＝－x2－x＋1x20恒成立，所以g(x)在(1，e)上单调递减，所以g(x)g(1)＝a－1≤0，所以f′(x)＝0在(1，e)内无解．所以函数f(x)在区间(1，e)内无极值点．函数的最值问题(师生共研)(2020·贵阳市检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．【解】(1)f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．6因为f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，所以f′(x)＞0⇒0x1，f′(x)0⇒x＞1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在1e，e上的极大值为f(1)＝1－11－ln1＝0.又f1e＝1－e－ln1e＝2－e，f(e)＝1－1e－lne＝－1e，且f1ef(e)．所以f(x)在1e，e上的最大值为0，最小值为2－e.求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．函数f(x)＝x22x＋1在－13，1上的最小值与最大值的和为()A.13B.23C．1D．0解析：选A.f′(x)＝2x（2x＋1）－2x2（2x＋1）2＝2x（x＋1）（2x＋1）2，x∈－13，1，当f′(x)＝0时，x＝0；当－13≤x≤0时，f′(x)0；当0x≤1时，f′(x)0，所以f(x)在－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.又f－13＝13，f(1)＝13.所以f(x)的最大值与最小值的和为13.2．(2020·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．7解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋1x＝1－xx，令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f(x)max＝f(1)＝－1.所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，＋∞.①若a≥－1e，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；②若a－1e，令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得0x－1a，令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得－1ax≤e.从而f(x)在0，－1a上为增函数，在－1a，e上为减函数，所以f(x)max＝f－1a＝－1＋ln－1a.令－1＋ln－1a＝－3，得ln－1a＝－2，即a＝－e2.因为－e2－1e，所以a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2.函数极值与最值的综合应用(师生共研)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．【解】f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]