05全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

-1-2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分50分）如图，在△ABC中，设ABAC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）证明：（1）先证DE过△ABC的内心。如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，得，AG⊥DC，ID=IC.又D、C、E在⊙A上，∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC，∴∠ACI=21∠ACB，∴I为△ABC的内心。（2）再证DF过△ABC的一个旁心.连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1、BI1、BI，由（1）知，I为内心，∴∠IBI1=90°=∠EDI1，∴D、B、l1、I四点共圆，∵∠BIl1=∠BDI1=90°－∠ADI1=（21∠BAC+∠ADG）－∠ADI=21∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共线.I1是△ABC的BC边外的旁心二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足.;,caybxbcxazabzcy求函数zzyyxxzyxf111),,(222的最小值.解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb，即02222cbabcx，bcacbx2222，同理，得.2,2222222abcbazacbcaya、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，222222222,,cbabcaacb，-2-故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，CzByAxcos,cos,cos，问题转化为：在锐角△ABC中，求函数Af(cos、Bcos、Ccos）=CCBBAAcos1coscos1coscos1cos222的最小值.令,cot,cot,cotCwBvAu则,1,,,wuvwuvRwvu且).)((1),)((1),)((1222wvwuwwvvuvwuvuu1)1()1(1111cos1cos2222222222uuuuuuuuuuuuAA),11(2))((13232232wuvuuuwuvuuuuuu同理，).11(2cos1cos),11(2cos1cos322322wvwuwwCCwuvuvvBB)[(21)(2122222333333222vuvuwvuwuwuwvwvvuvuwvuf+.21)(21)]()(2222uwvwuvwuwuwvwv（取等号当且仅当wvu，此时，.21)],,([),21,minzyxfzyxcba三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf（其中[x]表示不超过x的最大整数，]).[}{xxx试求：2401)(kkf的值.解：对任意*,Nka，若22)1(kak，则kka212，设,10,ka则].2[]}{1[,12211}{12222kakakakkakkakakaa让a跑遍区间22)1(,(kk）中的所有整数，则22)1(21],2[]}{1[kakkiika于是2)1(1121]2[)(nanikiikaf……①-3-下面计算kiik21],2[画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共]2[ik个，全表的“*”号共kiik21]2[个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共kjjT21)(个，因此kiik21]2[=kjjT21)(.示例如下：ji1234561******2***3**4*56*则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121nTnTTTnTTnjTafninikj……②由此，1512561)]()12()[16()(kkkTkTkkf……③记,15,,2,1),2()12(kkTkTak易得ka的取值情况如下：k123456789101112131415ka356678698881071010因此，151161783)16()(kkkakkfn……④据定义0)16()256(2ff，又当)3016(15},255,,242,241{2rrkk设，301515311515151515222rrrrrrrk，231}15{13012rrr，则}255,,242,241{,1]}{1[kk……⑤从则.76815783)(783)(25612401iikfkf