多元线性回归模型的估计

§3.2多元线性回归模型的估计估计方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,,,2,1),,(如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110i=1,2…n根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk其中2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值,,,,,jjk012。正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆ即YXβX)X(ˆ由于X’X满秩，故有YXXXβ1)(ˆ将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：0)ˆ()ˆ(ˆβXYβXYβ0)ˆˆˆˆ(ˆβXXββXYYXβYYβ0)ˆˆˆ2(ˆβXXββXYYYβ0ˆβXXYX得到：YXXXβ1)(ˆβXXYXˆ于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX'39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得0735.10003.00003.07226.0)(1EXX于是7770.0172.10339648400156740735.10003.00003.07226.0ˆˆˆ21Eβ⃟正规方程组的另一种写法对于正规方程组βXXYXˆβXXeXβXXˆˆ于是0eX或0ie0iijieX(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法(*)(**)⃟样本回归函数的离差形式ikikiiiexxxyˆˆˆ2211i=1,2…n其矩阵形式为eβxyˆ其中：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xkˆˆˆˆ21β在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为Yxxxβ1)(ˆkkXXYˆˆˆ110⃟随机误差项的方差的无偏估计可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为11ˆ22knkneiee*二、最大或然估计对于多元线性回归模型ikikiiiXXXY22110易知),(~2βXiNYiY的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)ˆ()ˆ(21))ˆˆˆˆ((212122222211022)2(1)2(1),,,(),ˆ(βXYβXYβeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即为变量Y的或然函数对数或然函数为)ˆ()ˆ(21)2()(2*βXYβXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对)ˆ()ˆ(βXYβXY求极小值。因此，参数的最大或然估计为YXXXβ1)(ˆ结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（MomentMethod,MM）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组YXβX)X(ˆ并对它进行求解而完成的。该正规方程组可以从另外一种思路来导:μXβYμXXβXYXμXXβ(YX)求期望:0XβYX)((E0XβYX)((E称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。0)ˆ1βX(YXn由此得到正规方程组YX'βXX'ˆ解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础•在矩方法中关键是利用了E(X’)=0•如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。•如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。四、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性CYYXXXβ1)(ˆ其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小方差性）其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E五、样本容量问题所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。⒈最小样本容量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即nk+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、满足基本要求的样本容量从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明六、多元线性回归模型的参数估计实例例3.2.2在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：人均GDP：GDPP前期消费：CONSP(-1)估计区间：1979~2000年Eviews软件估计结果LS//DependentVariableisCONSSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C120.700036.510363.3059120.0037GDPP0.2213270.0609693.6301450.0018CONSP(-1)0.4515070.1703082.6511250.0158R-squared0.995403Meandependentvar928.4946AdjustedR-squared0.994920S.D.dependentvar372.6424S.E.ofregression26.56078Akaikeinfocriterion6.684995Sumsquaredresid13404.02Schwarzcriterion6.833774Loglikelihood-101.7516F-statistic2057.271Durbin-Watsonstat1.278500Prob(F-statistic)0.000000