高中《正弦和余弦定理》数学教案

高中《正弦和余弦定理》数学教案教案是讲课的前提，是上好课的基础，是备课的具体体现。它能体现教师在整个教学中的整体设计和思考，尤其是严肃教学态度的重要标尺。以下是网友为大家整理的高中“正余弦定理”数学教案。谢谢你的欣赏。高中《正弦和余弦定理》数学教案1三维目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神.重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用.教学难点：正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a=csinA，b=csinB，这两个等式间存在关系吗?学生可以得到asinA=bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系?从而展开正弦定理的探究.思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生.在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处.现在要确定火场C距A、B多远?将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB=130°，∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习.推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系?3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立?4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它?5什么叫做解三角形?6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢?活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的.高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如下图，在Rt△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，则asinA=bsinB=csinC=c.从而在Rt△ABC中，asinA=bsinB=csinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析.如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA，则asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.从而asinA=bsinB=csinC.(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立.教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系;描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法.讨论结果：(1)～(4)略.(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形.(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”.这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论.应用示例例1在△ABC中，已知∠A=32.0°，∠B=81.8°，a=42.9cm，解此三角形.活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理，得∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°.根据正弦定理，得b=asinBsinA=42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm);c=asinCsinA=42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm).高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。(2)重点、难点。重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。(2)能力目标：提高学生分析问题、解决问题的能力。(3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培养学生的学习数学的兴趣。(三)教学过程教师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发现，自主探究。使学生的综合能力得到提高。教学过程分如下几个环节：教学过程课堂引入1、定理推导2、证明定理3、总结定理4、归纳小结5、反馈练习6、课堂总结、布置作业具体教学过程如下：(1)课堂引入：正余弦定理广泛应用于生产生活的各个领域，如航海，测量天体运行，那正余弦定理解决实际问题的一般步骤是什么呢?(2)定理的推导。首先提出问题：RtΔABC中可建立哪些边角关系?目的：首先从学生熟悉的直角三角形中引导学生自己发现定理内容，猜想，再完成一般性的证明，具体环节如下：①引导学生从SinA、SinB的表达式中发现联系。②继续引导学生观察特点，有A边A角，B边B角;③接着引导：能用C边C角表示吗?④而后鼓励猜想：在直角三角形中成立了，对任意三角形成立吗?发现问题比解决问题更重要，我便是让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后产生猜想，进而完成一般性证明。这个过程采用了不断创设问题，启发诱导的教学方法，引导学生自主发现和探究。第二步证明定理：①用向量方法证明定理：学生不易想到，设计如下：问题：如何出现三角函数做数量积欲转化到正弦利用诱导公式做直角难点突破实践：师生共同完成锐角三角形中定理证明独立：学生独立完成在钝角三角形中的证明总结定理：师生共同对定理进行总结，再认识。在定理的推导过程中，我注重“重过程、重体验”培养了学生的创新意识和实践能力，教育学生独立严谨科学的求学态度，使情感目标、能力目标得以实现。在定理总结之后，教师布置思考题：定理还有没有其他证法?通过这样的思考题，发散了学生思维，使学生的思维不仅仅禁锢在教师的启发诱导之下，符合素质教育的要求。(3)例题设置。例1△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，求b.(学生口答、教师板书)设计意图：①加深对定理的认识;②提高解决实际问题的能力例2△ABC中，a=20，b=28，A=40°，求B和C.例3△ABC中，a=60，b=50，A=38°，求B和C.其中①两组解，②一组解例3同时给出两道题，首先留给学生一定的思考时间，同时让两学生板演，以便两题形成对照、比较。可能出现的情况：两个学生都做对，则继续为学生提供展示的空间，让学生来分析看似一样的条件，为何①二解②一解情况，如果第二同学也做出两组解，则让其他学生积极参与评判，发现问题，找出对策。设计意图：①增强学生对定理灵活运用的能力②提高分析问题解决问题的能力③激发学生的参与意识，培养学生合作交流、竞争的意识，使学生在相互影响中共同进步。(4)归纳小结。借助多媒体动态演示：图表使学生对于已知两边和其中一边对角，三角形解的情况有一个清晰直观的认识。之后让学生对题型进行归纳小结。这样的归纳总结是通过学生实践，在新旧知识比照之后形成的，避免了学生的被动学习，抽象记忆，让学生形成对自我的认同和对社会的责任感。实现本节课的情感目标。(5)反馈练习：练习①△ABC中，已知a=60，b=48，A=36°②△ABC中，已知a=19，b=29，A=4°③△ABC中，已知a=60，b=48，A=92°判断解的情况。通过学生形成性的练习，巩固了对定理的认识和应用，也便于教师掌握学情，以为教学的进行作出合理安排。(6)课堂总结，布置作业。高中《正弦和余弦定理》数学教案3教学目标：1.了解利用向量知识推导正弦定理;2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决解斜三角形中复杂的计算问题;3.会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解;4.通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性和知识间的相互联系，体会事物之间是相互联系的辩证思想;教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用;教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定.教学方法：情景问题、启发引导教学设计过程(一)设置情境。思考：现实生活中如何测得某湖对岸A、B两点之间距离。学生会很自然地构造直角三角形来解决。但是很多情况，受地理条件的限制，我们很难构造直角三角形，也就是在一般的三角形里我们如何求出AB的距离?我们能不能发现在三角形中还蕴涵着什么样边与角关系呢?#FormatTableID_5#组织学生分组讨论，教师参与学生的讨论。(2-3钟)让学生汇报：通过对直角三角形的研究发现了什么结论。直角三角形中存在等式：小结：利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角.这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理.(二)推导定理过程1.学生思考：1)在任意中，3个向量，，间满足什么关系?2)在++=两边同乘以向量,有(++).,这里的量可否任意?又如何选择向量3)由++=,如何能形成数量积运算?2.证明过程：如图，在锐角中，过作单位向量垂直于，则与的夹角为与的夹角为。由向量的加法可得:对上面向量等式两边同取与向量的数量积运算，得到同理，过点作与垂直的单位向量，可得3.深入思考：1)当为钝角三角形时如何证得2)正弦定理还有没有其它的方法证明?3)观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题?4.小结：正弦定理可以解决两类三角形问题：1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角;2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(三)例题分析例1在中，已知，求(保留两个有效数字)解：且例