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第1页(共18页)2021年湖南省六校高考数学联考试卷(4月份)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合{1A,2,3,4,5},2{|30}Bxxx,则RABð中的元素个数为()A.4B.3C.2D.12.(5分)已知复数1z,2z在复平面内对应的点分别为1(3,)Za,2(2,1)Z,且12zz为纯虚数,则实数(a)A.6B.32C.65D.63.(5分)函数2cos()xxxxfxee的图象大致是()A.B.C.D.4.(5分)某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动,且每个人只去一个村,则每个村至少有一名工作人员的概率为()A.49B.916C.59D.895.(5分)已知||6a,(,3)bm,且()(2)baab,则向量a在向量b方向上的投影的最大值为()A.4B.2C.62D.16.(5分)数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords,也称之为无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形,在等腰直角三角形ABC中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设ADa,BDb,则该图形可以完成的无字证明为()第2页(共18页)A.(0,0)2ababab B.2(0,0)ababababC.22(0,0)22abababD.222(0,0)ababab 7.(5分)已知1F,2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,点P是该双曲线上一点且在第一象限内,12212sinsinPFFPFF,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(3,)C.(1,3)D.(2,3)8.(5分)定义函数1,1,xDxx为有理数为无理数,则下列命题中正确的是()A.()Dx不是周期函数B.()yDx的图象存在对称轴C.()Dx是奇函数D.()Dx是周期函数,且有最小正周期二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(5分)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是()A.若两直线的斜率相等,则两直线平行B.若5x,则10xC.已知a是直线a的方向向量,n是平面的法向量,若a,则anD.已知可导函数()fx,若0()0fx,则()fx在0xx处取得极值10.(5分)已知数列{}na满足11a,23a,22nnaa,*nN,则()A.12()aa,34()aa,56()aa,为等差数列B.21()aa,43()aa,65()aa,为常数列C.2143nanD.若数列{}nb满足(1)nnnba,则数列{}nb的前100项和为10011.(5分)已知函数()2cos()(0fxx,||)2的图象上,对称中心与对称轴12x的最小距离为4,则下列结论正确的是()A.函数()fx的一个对称点为5(12,0)第3页(共18页)B.当[6x,]2时,函数()fx的最小值为3C.若444sincos((0,))52,则()4f的值为4335D.要得到函数()fx的图象,只需要将()2cos2gxx的图象向右平移6个单位12.(5分)已知球O的半径为2,球心O在大小为60的二面角l内,二面角l的两个半平面分别截球面得两个圆1O,2O,若两圆1O,2O的公共弦AB的长为2,E为AB的中点,四面体12OAOO的体积为V,则下列结论中正确的有()A.O,E,1O,2O四点共面B.1232OOC.1232OOD.V的最大值为316三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布(89,100)N,则(79109)PX.附:()0.6827PX,(22)0.9545PX14.(5分)请写出满足条件“()fxf(1)对任意的[0x,1]恒成立,且()fx在[0,1上不是增函数”的一个函数:.15.(5分)已知621()(1)(0)axax的展开式中各项的系数和为192,则其展开式中的常数项为.16.(5分)电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一,当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具,被广泛地应用于人们的工作与生活之中,计算机在进行数的计算和处理加工时,内部使用的是二进制计数制,简称二进制.一个十进制数(*)nnN可以表示成二进制数0122()kaaaa,即1210012122222kkkkknaaaaa,其中01a,{0ia,1},0i,1,2,,k,kN.用()fn表示十进制数n的二进制表示中1的个数,则f(7);对任意*rN,12122rrn()fn.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知数列{}na的前n项和nS满足223nSnn.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)数列11{}nnaa的前n项和是nT,若存在*nN,使得10nnTa 成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数21()3sincoscos()2fxxxxxR.(Ⅰ)当[12x,5]12时,分别求函数()fx取得最大值和最小值时x的值;第4页(共18页)(Ⅱ)设ABC的内角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且23a,6b,()12Af,求c的值.19.(12分)甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练,下午进行正式比赛.(Ⅰ)上午的3局热身训练中,求甲恰好胜2局的概率;(Ⅱ)下午的正式比赛中:①若采用“3局2胜制”,求甲所胜局数x的分布列与数学期望;②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时,甲获胜的概率;对甲而言,哪种局制更有利?你对局制长短的设置有何认识?20.(12分)某建筑工地上有一个旗杆CF(与地面垂直),其正南、正西方向各有一标杆BE,DG(均与地面垂直,B,D在地面上),长度分别为1m,4m,在地面上有一基点A(点A在B点的正西方向,也在D点的正南方向上),且2BABCm,且A,E,F,G四点共面.(Ⅰ)求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角的正切值;(Ⅱ)若旗杆上有一点M,使得直线BM与地面ABCD所成的角为4,试求平面ABM与平面AEFG所成锐二面角的正弦值.21.(12分)已知A,B分别为椭圆222:1(3)3xyEaa的左、右顶点,Q为椭圆E的上顶点,1AQQB.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)已知动点P在椭圆E上,两定点3(1,)2M,3(1,)2N.①求PMN的面积的最大值;②若直线MP与NP分别与直线3x交于C,D两点,问:是否存在点P,使得PMN与PCD的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(12分)已知12()(1)2cos(1)fxlnxxx,2()cos1gxxax.(Ⅰ)若()0gx 恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)确定()fx在(1,)内的零点个数.第5页(共18页)2021年湖南省六校高考数学联考试卷(4月份)参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【分析】先求出集合B,再利用补集求出RBð,然后由集合交集的定义求解RABð即可.【解答】解:因为2{|30}{|0Bxxxxx或3}x,所以{|03}RBxxð,又集合{1A,2,3,4,5},所以{1RABð,2,3},故RABð中的元素个数为3.故选:B.【点评】本题考查了集合的运算,主要考查了集合的交集和补集的定义,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.2.【分析】先利用复数的几何意义求出复数1z,2z,再利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义求解a即可.【解答】解:因为复数1z,2z在复平面内对应的点分别为1(3,)Za,2(2,1)Z,所以13zai,22zi,故12(3)(2)6(32)zzaiiaai,因为12zz为纯虚数,所以60a且320a,解得6a.故选:D.【点评】本题考查了复数的几何意义,复数的定义,解题的关键是掌握复数的几何意义,考查了运算能力,属于基础题.3.【分析】先判断函数的奇偶性,再不妨考虑(0,1)x时,()fx与0的大小关系,得解.【解答】解:22cos()()cos()()xxxxxxxxfxfxeeee,函数()fx为奇函数,排除选项C和D,当(0,1)x时,cos0x,0xxee,()0fx,排除选项B,第6页(共18页)故选:A.【点评】本题考查函数的图象与性质,一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题.4.【分析】4人随机去3个村的可能情况有4381种,每个人只去一个村,则每个村至少有一名工作人员有234336CA种,然后结合古典概率公式可求.【解答】解;4人随机去3个村的可能情况有4381种,每个人只去一个村,则每个村至少有一名工作人员有234336CA种,故364819P.故选:A.【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用,属于基础题.5.【分析】由已知及向量的数量积运算可求得23abm,从而可得向量a在向量b方向上的投影为||cosaa,22129||9abbmbm,令29tm,则12()fttt,利用函数的单调性求得()ft的最大值即可得解.【解答】解:因为||6a,(,3)bm,()(2)baab,所以222()(2)229120baabbabaababm,所以23abm,所以向量a在向量b方向上的投影为:||cosaa,22223129||99abmbmbmm,令29tm,3t ,12()fttt,yt与12yt在[3.)上均为减函数,则()ft在[3.)上为减函数,所以()ftf(3)12313,所以向量a在向量b方向上的投影的最大值为1.故选:D.【点评】本题考查了向量垂直的充要条件,向量数量积的运算,向量投影的计算公式,利用函数的单调性求最值的方法,考查了计算能力,属于中档题.第7页(共18页)6.【分析】由已知图形先求出OC,CD,然后结合OCCD即可判断.【解答】解:由题意得ABADBDab,1()2COab,11()()22ODOBDBabbab,RtOCD中,2222222()()442abababCDOCOD,因为OCCD,所以221()22abab,当且仅当ab时取等号,故选:C.【点评】本题主要考查了基本不等式的应用,体现了转化思想的应用,属于基础题.7.【分析】在△12PFF中,由正弦定理可得212||||PFPF,再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”,即可得解.【解答】解:在△12PFF中,由正弦定理知,122112||||sinsinPFPFPFFPFF
本文标题:2021年4月湖南省六校高考数学联考试卷原版答案解析版
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