高数极限求法总结【通用4篇】

高数极限求法总结【通用4篇】【导读】这篇文档“高数极限求法总结【通用4篇】”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理，希望这篇范文对您有所帮助，喜欢就下载吧！高数_极限[1]【第一篇】求函摘要:本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:证:由取则当时,就有由函数极限定义有:2、利用极限的四则运算性质若(III)若B≠0则：0IV）（c为常数）上述性质对于时也同样成立（例：求解:3、约去零因式（此法适用于时,00型例:求解:原式24、通分法（适用于型）例:求解:原式=5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x)满足：（I）为正整数)则：例:求解:由lim0而故原式6、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若：则(II)若且例:求下列极限则4解:由故由故7、等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量，且有：则，存在，=也存在，且有例:求极限lim解注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限x(1)、、liml则解：（1）令于是又当时，故有：、原式ln[x)9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。(i)若f(x)在处连续，则(ii)若是复合函数，又f(u)在处连续，则且例：求下列函数的极限(1)、（2）解：由于属于初等函数故由函数的连续性定义的定义域之内。有：(2)、由令故有：10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：、n、k、l为正整数。例：求下列函数极限①、解:①令t=原式则当时于是②由于令：则11、利用函数极限的存在性定理定理:设在x的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤0h(x)且有:则极限lim存在,且有xanx例:求解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n0时有:kank及又当时有及12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限lim左极限存在且等于A的充分必要条件是A。即有：9f(x)及右极限都存在且都等于例：设求limf(x)及解：(由（又（由不存在x13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若与g在xu0(x'0的某空心邻域0)内可导，且可为实数，也可为或），则此定理是对00型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限解：①令f(x)=由于但从而运用罗比塔法则两次后得到②由lim法则有：故此例属于型，由罗比塔14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、n2、3、4、5、6、上述展开式中的符号o(x)都有:例:求解:利用泰勒公式，当有于是15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：(I)f在闭区间上连续(II)f在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点使得此式变形可为:例:求解:令对它应用中值定理得即:1)连续从而有16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有(II)当时有:①若Q(x②若Q(x③若则而则lim0则分别考虑若x0)P1(x)s为的s重根,即也为的r重根,即可得结论如下：例：求下列函数的极限解:①分子，分母的最高次方相同，故必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求lim解二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求[解法一2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。[解法二]:2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则[解法四]:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。[解法六]：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。[解法七]:tgx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。(作者:黄文羊)高数极限和连续【第二篇】第二章极限和连续字体：大中小打印2.1数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，„，An，„→„S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3„编号依次排列的一列数x1，x2，„，xn，„（1）称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{xn}。例如nn2，4，8，„，2，„；{2}注意：（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取（2）数列是整标函数xn=f（n）三、数列的极限1.定义设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{xn}收敛，a是数列{xn}的极限，或者称数列xn收敛于a，记为。如果数列没有极限，就说数列是发散的。例如nn2，4，8，„，2，„；{2}，发散，发散收敛于02.数列极限的性质（1）唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限。（2）有界性定义:对数列xn，若存在正数M，使得一切自然数n,恒有|xn|≤M成立,则称数列xn有界，否则，称为无界。例如，数列有界，数列无界数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。定理收敛的数列必定有界。注意：有界性是数列收敛的必要条件。推论无界数列必定发散。（3）保号性收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0）2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）2.2级数1.级数的定义:称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。2.级数的部分和3.部分和数列4.级数的收敛与发散当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S，即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。如果Sn没有极限，则称无穷级数数项级数收敛存在发散。例1.讨论等比级数（几何级数）（a≠0）的收敛性。答疑编号11020101：针对该题提问解：如果q≠1时，当|q|＜1时，当|q|＞1时如果|q|=1时当|q|=1时，级数发散收敛发散当q=-1时，级数变为α-α+α-α+„不存在，级数发散综上例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：答疑编号11020102：针对该题提问解：由得级数收敛，其和为。例3.判断级数的敛散性答疑编号11020103：针对该题提问例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和答疑编号11020104：针对该题提问例5.判别无穷级数的收敛性。答疑编号11020105：针对该题提问解∴级数收敛，和为。2.3函数极限两种情形:（1）x→∞情形：（2）x→x0情形：一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大（即|x|→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为或f(x)→A，当x→∞时。定理：例1.（60页例5、例6）求下列函数的极限（1）答疑编号11020201：针对该题提问（2）答疑编号11020202：针对该题提问解：对于函数对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见所以，极限例2.不存在。答疑编号11020203：针对该题提问例3.答疑编号11020204：针对该题提问例4.答疑编号11020205：针对该题提问二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）1.定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为或f（x）→A，当x→x0时。2.单侧极限定义：设f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当相应的函数值（fx）无限接近于A，则称A为函数f(x)当时的左极限，记为定理：时，或（fx0-0）。例5.62页2：（5）（6）（7）求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。（5）x=2答疑编号11020206：针对该题提问（6）x=0答疑编号11020207：针对该题提问（7），x=0答疑编号11020208：针对该题提问问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A。例6.求答疑编号11020209：针对该题提问注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关三、函数极限的性质1.唯一性定理若limf(x)存在，则极限唯一。2.有界性定理（有极限函数的局部有界性）假设中有界，即有常数M＞0，使得在x0的某个去心邻域3.保号性若推论存在，则f（x）在x0点的某个邻域中，有，且A＞0（或A＜0）若时f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）四、小结函数极限的统一定义2.4极限的运算法则一、极限运算法则定理设（1）（2），则（3）例7.答疑编号11020210：针对该题提问推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则常数因子可以提到极限记号外面。推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则二、求极限方法举例例8.求答疑编号11020211：针对该题提问解（直接代入法）例9.求。答疑编号11020212：针对该题提问解：x→1时，分子，分母的极限都是零。（型）（消去零因子法或因式分解法）例10.求答疑编号11020213：针对该题提问解：先变形再求极限。例11.求答疑编号11020214：针对该题提问三、小结1.极限的四则运算法则及其推论；2.极限求法a.多项式与分式函数代入法求极限；b.因式分解法消去零因子求极限；c.通分法d.利用左右极限求分段函数极限。2.5无穷小和无穷大一、无穷小1.定义：极限为零的变量称为无穷小。函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小，记作例如，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。，∴函数是当x→∞时的无穷小。，∴数列是当n→∞时的无穷小。注意：（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆；（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。2.无穷小与函数极限的关系：其中α（x）是当x→x0时的无穷小。定理3.无穷小的运算性质：（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。例如，当x→0时，二、无穷大1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大，记作。2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；（2）切勿将认为极限存在。（3