新教材20202021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测861直线与直线垂直Word版含解析

课时素养检测二十九直线与直线垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条【解析】选A.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.3.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为()A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直【解析】选D.将展开图还原为正方体,如图所示.4.(多选题)如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中成立的是()A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD异面D.EF与A1C1异面【解析】选ABC.连接A1B,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以EF是△A1BC1的中位线,所以EF∥A1C1,故D错误,ABC正确.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线;以上四个说法中,正确说法的序号是__________.【解析】在①中,直线BM与ED为异面直线,故①不正确.在②中,由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线,故②正确.在③中,由条件可得四边形BCNE为平行四边形,故CN与BE平行,故③不正确.在④中,由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线,故④正确.综上②④正确.答案:②④6.(双空题)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH是正方形.【解析】易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BDAC=BD且AC⊥BD三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在长方体ABCD�A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)求异面直线BC1与CD1所成角的余弦值;(2)求三棱锥B�D1AC的体积.【解析】(1)因为AD1∥BC1,所以∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角.在等腰△ACD1中,AC=,CD1=,AD1=,易得cos∠CD1A=.即异面直线BC1与CD1所成角的余弦值为.(2)==××1=.8.(14分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1.【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=AC.因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2×sin60°×2=6,所以AD1=AC=3,所以AA1===.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成θ角的取值范围是()A.0°θ90°B.0°θ≤90°C.0°≤θ≤60°D.0°θ≤60°【解析】选D.如图,连接CD′,则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP,由图可知,当P点与A点重合时,θ=60°,当P点无限接近D′点时,θ趋近于0°,由于是异面直线,故θ≠0°.2.如图,在正四面体O-ABC中,D是OA的中点,则BD与OC所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】选B.取AC的中点E,连接DE,BE,根据题意∠BDE为异面直线BD与OC所成的角,设正四面体的棱长为2,则DE=1,BD=BE=,cos∠BDE==,所以BD与OC所成角的余弦值是.3.如图,三棱柱ABC�A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.CC1与AE是共面直线C.AE与B1C1是异面直线D.AE与BB1是共面直线【解析】选C.由于CC1与B1E均在平面BCC1B1内,不是异面直线;CC1∩平面ABC=C,AE⊂平面ABC,点C不在直线AE上,所以CC1和AE是异面直线,同理BB1与AE是异面直线,AE∩平面BCC1B1=E,B1C1⊂平面BCC1B1,点E不在直线B1C1上,则AE与B1C1是异面直线.4.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是()A.AB⊥EFB.AB与CM所成的角为60°C.EF与MN是异面直线D.MN∥CD【解析】选AC.把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知∠ABC=120°,异面直线MN,PQ.其中MN∥AB,PQ∥BC,则异面直线MN与PQ所成的角为________.【解析】结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线MN与PQ所成的角为60°.答案:60°6.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为________.【解析】如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.因为△DBB1为直角三角形,所以tan∠BB1D==.答案:7.空间中∠A的两边和∠B的两边分别平行,∠A=70°,则∠B=________.【解析】因为∠A的两边和∠B的两边分别平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.答案:70°或110°8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________.【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C,EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG中,cos∠EFG===.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA是该棱锥的高,且OA⊥AD,OA⊥AC,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.【解析】(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE=,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以△DEM为直角三角形,所以tan∠EMD===.10.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1⊥EF.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以异面直线CD1,EF所成的角为90°,即CD1⊥EF.