X年高中数学向量的综合应用填选拔高题组(有答案)

2015年高中数学向量的综合应用填选拔高题组一．选择题（共15小题）1．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．102．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上3．（2011•浦东新区模拟）若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数x的方程x2+x+=有解（点O不在l上），则此方程的解集为（）A．{﹣1}B．{0}C．D．{﹣1，0}4．（2011•咸阳三模）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A．﹣2B．C．1D．05．（2011•淄博二模）函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）•=（）A．﹣8B．﹣4C．4D．86．（2011•海淀区二模）在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数λ的值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（2011•浦东新区三模）若△ABC的面积，则夹角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2011•浦东新区三模）已知关于x的方程，其中、、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（）A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解9．（2010•山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||210．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（）A．B．C．D．11．（2010•东城区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比是（）A．B．C．D．12．（2010•青浦区一模）设、、为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于（）A．以、为两边的三角形面积B．以、为邻边的平行四边形的面积C．以、为两边的三角形面积D．以、为邻边的平行四边形的面积13．（2010•黄冈模拟）平面向量的集合A到A的映射f由f（）=确定，其中为常向量．若映射f满足对恒成立，则的坐标不可能是（）A．（0，0）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）14．（2010•浙江模拟）设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（）A．45°B．60°C．30°D．15°15．（2010•湖北模拟）△ABC内接于以O为圆心，半径为1的圆，且，则△ABC的面积为（）A．1B．C．D．二．填空题（共15小题）16．（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=_________．17．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为_________．18．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．19．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为_________．20．（2013•牡丹江一模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2=_________．21．（2013•佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC=_________．22．（2013•嘉定区一模）给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，y∈R，则（x﹣1）2+y2的最大值为_________．23．（2012•安徽）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是_________．24．（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=_________．25．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_________．26．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为_________．27．（2012•江西模拟）如图，已知C为△OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，n∈R），则mn=_________．28．（2012•上高县模拟）设点P是△ABC内一点（不包括边界），且，m、n∈R，则m2+（n﹣2）2的取值范围是_________．29．（2012•德州一模）已知，定义，下列等式中①；②；③；④2+2=（m2+q2）（n2+p2）一定成立的是_________．（填上序号即可）30．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为_________．2015年高中数学向量的综合应用填选拔高题组参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．10考点：向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．解答：解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B．点评：本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．2．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），所以λ=c，μ=d，代入得（1）若C是线段AB的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．故选D点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．3．（2011•浦东新区模拟）若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数x的方程x2+x+=有解（点O不在l上），则此方程的解集为（）A．{﹣1}B．{0}C．D．{﹣1，0}考点：向量的共线定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：利用向量的运算法则将等式中的向量都用以o为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x解答：解：即∴∵A，B，C共线∴﹣x2﹣x+1=1解得x=0，﹣1当x=0时，等价于不合题意故选A．点评：本题考查向量的运算法则、三点共线的充要条件：A，B，C共线⇔，其中x+y=14．（2011•咸阳三模）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A．﹣2B．C．1D．0考点：平面向量数量积的运算；双曲线的应用．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：要求的最小值，我们可以根据已知条件中，P为双曲线右支上一点设出满足条件的P点的坐标，然后根据双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，求出点及相应的向量的坐标，根据平面向量数量积运算法则，再分析其几何意义即可求解．解答：解：设P点坐标为（x，y）（x＞0），由双曲线方程可得：A1点坐标为（﹣1，0），F2点坐标为（2，0）点则=（﹣x﹣1，﹣y）（2﹣x，﹣y）=，当x=1，y=0时，取最小值﹣2故选A点评：求的最值，我们可以设出P点坐标，然后利用向量数量积公式，求出的表达式，然后分析几何意义，进行求解．5．（2011•淄博二模）函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）•=（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：先确定点A（2，0）再射出点B（x1，y1），C（x2，y2），由题意可知点A为B、C两点的中点，故x1+x2=4，y1+y2=0．将点B、C代入即可得到答案．解答：解：由题意可知B、C两点的中点为点A（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=0∴（+）•=（（x1，y1）+（x2，y2））•（2，0）=（x1+x2，y1+y2）•（2，0）=（4，0）•（2，0）=8故选D．点评：本题主要考查平面向量的数量积运算．属基础题．6．（2011•海淀区二模）在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数λ的值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：向量在几何中的应用．菁优网版权所有专题：综合题；压轴题．分析：根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出λ的值．解答：解：∵线段D1Q与OP互相平分，且，∴Q∈MN，∴只有当四边形D1PQO是平行四边时，才满足题意，此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，此时λ=0或1故选C．点评：本题考查学生的空间想象能力和运动变化的观点分析解决问题的能力，属中档题．7．（2011•浦东新区三模）若△ABC的面积，则夹角的取值范围是（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：由=3可得|AB||BC|cosB=﹣3，结合==可求B的范围，进而可求夹角π﹣B得范围解答：解：∵=3∴|AB||BC|cosB=﹣3==∴∴∴则夹角为故选：D点评：本题主要考查了利用三角形的面积公式及向量的数量积的定义求解向量的夹角，解题中要根据向量的夹角定义进行求解不要错误认为所求向量的夹角为B8．（2011•浦东新区三模）已知关于x的方程，其中、、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（）A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解考点：平面向量的综合题．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先将向量移到另一侧得到关于向量=﹣x2﹣x，再由平面向量的基本定理判断即可．解答：解：=（﹣x2）﹣x∵、这不共线向量故存在唯一一对实数λ，μ使，=λ+μ若λ满足λ=﹣μ2，则方程有一个解，λ不满足λ=﹣μ2，