第三章 工程形体表面的交线

第三章工程形体表面的交线第一节概述体育馆的球壳屋面，其四周的轮廓曲线由平面截割半球壳而形成——截交线体育馆截交线截平面截交线截断面•截平面：假想用来截割形体的平面•截交线：截平面与形体相交形成的表面交线•断面：由截交线围成的平面图形截交线性质：1.截交线是截平面与形体表面的共有线2.截交线是封闭的平面折线或平面曲线两个坡屋面的交线是两棱柱相交而产生的——相贯线武汉东湖水族馆相贯线•相贯体：两个相交的形体•相贯线：两相交形体表面的交线•相贯线的形成：1.平面体与平面体相贯2.平面体与曲面体相贯3.曲面体与曲面体相贯•相贯线性质：1.相贯线是两形体表面共有线2.相贯线是（一个或几个）空间曲线或平面曲线第二节平面与立体相交一、平面与平面立体相交•平面立体截交线的形状：平面多边形。•平面截割三棱锥SABC，截交线的形状为三角形•Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是截平面与棱线的交点，三条边是截平面与棱面的交线求作平面立体截交线的方法：1)求平面立体的各棱线与截平面的交点，然后连接位于同一棱面上的两交点；2)求出各棱面及底面与截平面的交线。ACDMNB1.棱柱上的截交线【例1】求作四棱柱被正垂面PV截割后的投影解：1)形体分析：•截切前的形体：四棱柱•截交线的形状分析：五边形2)截交线的投影分析：•V投影：积聚成直线•H投影：五边形的类似形四条边与四个棱面积聚投影重合,一条边是正垂线•W投影：五边形的类似形3)作图步骤：（1）求交点A、M、N、C、D的三面投影（2）判别截交线的可见性，连接截交线的三面投影（3)用虚线画出不可见的投影（右侧棱线在W面上的投影）【例2】如图所示，屋顶天窗可看作一四棱柱被几个平面截割而成，图b为简化后的立体图。已知H投影和V投影，求作其W投影。（a)（b)（c)1)形体分析：•从V、H投影可知，天窗前后左右对称。•∵CD是正垂线，包含正垂线的两个相交、且左右对称的平面应是正垂面。∴CSE、DSG、CSF、DSH都是正垂面。同理，AB是侧垂线，包含侧垂线的平面ASE、ASG、BSF、BSH都是侧垂面。2)截交线的投影分析：•V投影中两条斜线表示正垂面的积聚投影•W投影中两条斜线表示侧垂面积聚投影3)作图步骤：（1）画出四棱柱的W投影（2）分别作出c″d″、a″(b″)和s″。•正垂线CD的W投影反映实长•侧垂线AB的W投影积聚成一点，a″(b″)与s″重合。（4）连接a″e″和a″g″，两条斜线表示侧垂面（3）作出e″、（f″）、（h″）、g″。积聚性投影。4)检查：SEd''e''【例3】已知一个歇山屋顶的V、W投影，补画H投影。1）分析：歇山屋顶为三棱柱被正垂面和侧平面截割而成侧平面正垂面2）作图：（1）根据投影关系画出屋脊线。（2）画侧平面的H面投影——积聚成直线（123）（3）画正垂面与三棱柱的截交线（四边形）的H面投影——（24、35、45）。（4）歇山屋顶H投影的交线均可见，画实线。注意：•屋顶下部的四棱柱体，在H投影中不可见，画虚线。•检查IIIV线的三面投影是否满足一般位置线的投影特性。2.棱锥上的截交线【例5】已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和侧面投影。解：1)形体分析缺口是由一个水平面和一个正垂面切割三棱锥形成2)截交线的投影分析3)作图步骤•作水平面截交线的投影•作正垂面截交线的投影补全其它投影•擦去作图线•加粗全图图线二、曲面体的截交线•曲面体截交线的性质：1)一般情况下，截交线是平面曲线（封闭或不封闭），或由曲线和直线组成的平面图形。但也可能是一条空间曲线。2)截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。1.平面与圆柱相交截平面位置垂直于圆柱轴线倾斜于圆柱轴线平行于圆柱轴线截交线形状圆椭圆矩形立体图投影图截交线的形状取决于：1)曲面立体的几何性质2)截平面的相对位置•求作曲面体截交线的步骤：1)首先应求出控制截交线形状、范围的一些特殊点（如最高、最低、最左、最右、最前、最后点，以及可见与不可见的分界点等）；2)根据需要再作一些一般点；3)判别截交线的可见性，将这一系列点依次光滑连成截交线。•求共有点的基本方法：①素线法②纬圆法③辅助平面法。【例6】圆柱左上方被一水平面和一侧平面切去一块，已知它的V面、H面投影，求作W面投影。此处无线【例7】1.根据中间开槽的圆柱体两面投影，画出其侧面投影。此处有线【例7】2.根据中间开槽的圆筒两面投影，画出其侧面投影。此处无线【例8】补全接头（槽口）的H、V投影。•形体分析：接头是圆柱体右端开槽、左端切肩。所得交线为直线和平行于侧面的圆弧段。•投影作图：①作切肩交线②作槽口交线【例9】补全木屋架下弦杆的投影。ABCD分析：①截交线形状：正垂面Pv、Qv截割的交线分别为椭圆弧；Pv、Qv相交，交线为正垂线②截交线的投影特征：截交线的H投影椭圆弧；正垂线的V投影积聚为一点。作图：（1）求特殊点：作交线AB端点A和B，最高点C和D投影（2）作一般点：利用圆柱表面上取点的方法作点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。（3）连点注意：a″b″画虚线2.平面与圆锥相交截平面位置垂直于圆锥轴线倾斜于圆锥轴线平行于圆锥轴线平行于圆锥的一条素线通过圆锥顶点截交线形状圆椭圆双曲线加直线段抛物线加直线段等腰三角形立体图投影图1）圆锥表面截交线的形状特征——有五种2）圆锥表面截交线的投影特征•当截平面平行于投影面时，在所平行的投影面上圆锥表面的截交线的投影反映实形；•当截平面垂直于投影面时，截交线的投影积聚成直线；•当截平面倾斜于投影面时，圆锥表面截交线（椭圆、抛物线、双曲线）的投影是原曲线的类似形，一般仍为椭圆、抛物线和双曲线。3）圆锥表面截交线的几何作图作圆锥表面上截交线的投影，实际上也是锥面上取点的问题。可运用素线法或纬圆法，求出截交线上特殊点（形状控制点）及若干一般点，依次光滑连接起来即得所求。【例3-6】求作圆锥被正垂面P截断后的投影和截断面的实形b)求正垂面与圆锥的截交线ACDB•截交线形状分析：圆锥被一正垂面斜切，其截交线为一椭圆。•截交线投影分析：截交线椭圆的V投影积聚为一直线，H和W投影均为椭圆，都不反映实形。•投影作图：（1）求特殊点•最低点A和最高点B是椭圆长轴的两端点；•椭圆短轴的端点C、D也是截交线上的最前、最后点，H投影c、d可用辅助纬圆法或辅助素线法求得（1）求特殊点•圆锥的最前、最后素线与截平面的交点E、F，其V投影e′、f′为截平面与轴线V投影的交点，根据e′、（f′）作出e″、f″，再由e′、（f′）和e″、f″作出e、f。（2）求一般点用纬圆法或素线法作出椭圆上若干个中间点。如图中的点Ⅰ、Ⅱ（选点最好对称于长轴AB，这样连线画椭圆时容易做到对称均匀）。（3）连点在H、V投影中依次光滑连接各点，即得所求椭圆投影。由于圆锥上部截去后，截交线在H和W投影中均可见，应画实线。3.平面与圆球相交1）圆球表面截交线形状——圆•无论截平面处于何位置，它与球的截交线总是圆。•截平面愈靠近球心，截得的圆愈大。•当截平面通过球心时，截得的圆最大，其直径等于球的直径。2）圆球表面截交线的投影特征•当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆；•当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为实形——圆。【例3-7】求球壳屋面的投影图。求球壳屋面的截交线•投影分析：球壳屋面是由正平面P1、P2和侧平面Q1、Q2截割半球形成的。•P1、P2截得的交线的V投影为该圆弧的实形，W投影积聚成两条铅垂线；•Q1、Q2截得的交线的W投影为该圆弧的实形，V投影积聚成两条铅垂线。•截平面P1、P2与Q1、Q2的交线为四条铅垂线。•几何作图：（1）在H投影中延长P1与半球底圆相交，求得交线圆弧的直径12，由此作出截交线圆弧的V投影（圆弧实形）和W投影（两条铅垂线）；（2）延长Q1与半球底圆相交，求得交线圆弧的直径34，由此作出交线圆弧的W投影（圆弧实形）和V投影（两条铅垂线）。•投影作图：（3）擦去作图线，描深，完成作图。第三节立体与立体相交相贯：立体与立体相交平面体与平面体相贯包括平面体与曲面体相贯曲面体与曲面体相贯相贯线：两相交形体表面的交线•相贯线实例•相贯线性质：1.相贯线是两形体表面共有线2.相贯线是空间曲线（空间折线）或平面曲线（平面折线）一、两平面体相贯（一）空间分析：两平面体的相贯线——空间折线或平面折线•每段折线都是一形体棱面与另一形体棱面的交线•每个转折点都是一形体棱线与另一形体棱面的交点两平面体相贯（二）投影分析：求两平面立体的相贯线投影求棱线与棱面交点的投影求棱平面交线的投影关键：找出处于特殊投影位置的棱线和棱面——投影面的垂直线、垂直面（三）作图方法：利用“共有性”、“积聚性”或辅助线【例1】：求作图所示建筑形体与入口交线的投影。1.形体分析：相贯线是正四棱锥与正三棱柱两个棱面的交线——平面折线2.投影分析：相贯线的V、W投影：分别与棱柱、棱锥的投影重合，仅需求出H投影。3.作图：（1）作相贯点投影——点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、的H投影。（2）连接——依次连接各点的H投影成封闭折线。（3）判别可见性——折线位于可见面上，画实线。【例2】：求作屋面与烟囱的交线投影。1.空间分析：•相贯线是正四棱柱与五棱柱相贯的交线——闭合的空间折线•相贯点是棱线与另一形体棱面的交点——应用求面与线交点的方法求解投影ⅠⅥⅤⅣ2.投影分析：•正四棱柱的棱线：铅垂线•正四棱柱的棱面：铅垂面•五棱柱的棱线：侧垂线•五棱柱的棱面：侧垂面ⅠⅥⅤⅣ3.作图步骤：作相贯点投影连接判别可见性虚线虚线虚线ⅠⅥⅤⅣ二、平面体与曲面体的相贯线【例】求作圆锥形薄壳基础模型表面交线的投影。解：•形体分析•投影分析•作图步骤：三、曲面体与曲面体相贯（1）积聚投影法当相贯的某一曲面的一个投影有积聚性时，则相贯线的投影与之重合，其他投影可以利用在另一曲面上取点的方法作出。【例】求作建筑水管异径三通（轴线垂直相交）外表面的交线投影。分析：•相贯线的几何特征：一条封闭的空间曲线，其投影左右、前后对称•相贯线的投影特征：∵小圆柱的H投影和大圆柱的W投影都有积聚性∴相贯线的H投影和W投影均为已知•利用积聚性作出相贯线的V投影。作图：（1）求特殊点（2）求一般点（3）连点成相贯线，并判别可见性。求相贯线投影的方法：1.两平面立体的相贯线：求两平面的交线的投影或求直线与平面的交点。2.平面体与曲面体的相贯线：求平面与曲面体的交线或求直线与曲面体的交点3.曲面体与曲面体的相贯线：一般要先作出一系列的共有点，然后依次光滑地连接成曲线。【例】已知某圆锥形建筑的V投影及H和W投影的外轮廓，补全其H和W投影中的相贯线投影。分析：该建筑主体与入口的交线可以看作半圆柱与四棱柱叠加组合后与圆锥相交形成的相贯线。•半圆柱与圆锥的相贯线为空间曲线，在H、W投影中均为曲线；•四棱柱与圆锥的交线为两段双曲线，H投影积聚为直线，W投影为双曲线作图：（1）用纬圆法求特殊点的投影：•最高点：由a′和a″可求得a；•最左点、最右点：b′、c′可直接定出，纬圆法求b、c，据此求得b″、c″；•最低点：D、E，d′、e′和d″、e″可直接定出，据此可得d、e。（2）求一般点取点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，利用纬圆法作出各点的投影。（3）将各点的H、W投影光滑地连成相贯线。由于相贯线左右对称，W投影重合为一条曲线，画实线。H投影可见，画实线。（2）辅助平面法根据三面共点原理，作辅助平面分别与两曲面体（圆柱、圆锥）相交，得到两辅助交线，两交线的交点即为相贯线上的点。•选择辅助面的原则：应使辅助面与两曲面的交线的投影简单易画。【例】求圆球与圆台相贯线的投影。分析：•相贯线的几何特征：圆台与圆球前后对称相交，相贯线为一条封闭的空间曲线，且前后对称。•相贯线的投影特征：相贯线所在的表面无积聚性。•利用辅助平面法求解：①选用水平面作辅助平面时，与圆球和圆台的截交线投影为两个圆；②选用过圆台锥顶的平面作辅助平面时，与圆球交线的投影为不易画出的椭圆，故不宜选其作为辅助平面。•作图：①求特殊点②求一般点③连点④判别可见性四、两曲面立体相贯线的特殊情况•具有公共顶点的两圆