变量类型与统计分析对应表如下

变量类型与统计分析对应表如下：条件期望与条件方差在正式进入计量经济学的学习之前，需要对条件期望以及条件方差熟练掌握，它们将在以后的学习中经常遇到。一、条件期望1、条件均值的定义条件均值的定义为：||||yYXyyfyxdyYEYXyPyxY若是连续的若是离散的应当指出的是，条件期望是谁的函数？2、条件期望的性质条件均值有几个简单而有用的性质：（1）迭代期望律(LawofIteratedexpectations,LIE)条件期望的期望等于无条件期望：|XEYEEYX其中，记号xE表示关于x值的期望。Proof:离散情形：Weneedtoshow:|XxEYEYXxPXxWhere|||YXyEYXxyPyx.Wehave|||XxYXXyxYyEYXxPXxyPyxPxyPYyEY连续情形:andXxEggfxdx||yEYXyfyxdy|||||,XxxyxyxyxyyEEYXxEYXxfxdxyfyxdyfxdxyfyxdyfxdxyfyxfxdxdyyfxydxdyyfydyEY迭代期望律的一般表述方式|||EyEEyxwx其中，gxw，x是w的子集，g为非随机函数。特例：||,|EyEEyxxzx另外，|||EyEEyxxw也成立。Smaller-fieldalwayswin!!（2）()()|()()|EgyhxygyEhxy（3）()()()()|EgyhxEgyEhxy()()()()|()()|EgyhxEEgyhxyEgyEhxy（4）|||EaxbyzaExzbEyz更为一般的情形：设，12,,,Gaaabxxxx和为x的标量函数，12,,,Gyyy为随机变量，那么：11||GGjjjjjjEaybaEybxxxxxx（5）对于任何二元变量的分布，,,||xxCovxyCovxEyxxExEyxfxdx证明：(,)CovxyExyExEy[(|)][(|)][(|)]EExyxExEyExEyxExEEyx,|CovxEyx{()[(|)((|))]}ExExEyxEEyx[()(|)][()][()(|)]ExExEyxExExEyExExEyx|xxxExEyxfxdx从这个公式中，我们需要理解线性回归中的两个古典假设：(|)0(,)0EuxCovxu由此零均值假定（在ix给定的条件下，iu的条件均值为零）与随机扰动项与解释变量不相关的假定在某种意义下等价，这将在以后的学习中经常提及。二、条件方差1、条件方差的定义条件方差的定义为：2222|||||VaryxxEyEyxxEyxEyx它的简化公式为：22|||VaryxEyxEyx可认为是：分组条件下的集中程度的度量，或者，分组条件下的差异程度的度量。同理，条件期望为总体分组条件下的分门别类地求期望。2、条件方差的性质（1）2||VaraybaVaryxxxxx（2）一个重要的方差分解定理：||xxVaryVarEyxEVaryx它表示，在一个二元分布中，y的方差可分解为条件期望的方差加上条件方差的期望。将此式变形即可得到：||xxEVaryxVaryVarEyx它表示从平均意义上看，在条件约束下，条件化减少了变量的方差。y的条件方差不大于y的无条件方差。现在我们来证明||xxVaryVarEyxEVaryx证明：2222||||2||VaryEyEyEyEyEyEyEyEyEyEyyEyEyEyxxxxxx220||2||EyEyEEyEyEyEyEyEyxxxx22||EyEyEEyEyxx2||22|||||EEyEEyVarEyEVaryEEyEyEEyEyxxxxxxx||EVaryVarEyxx（3）(|)[(|)|][(|)|]VaryEVaryVarEyxx,zxx,zx证明：利用性质：[(|)|](|)EEyEyx,zxx，22[(|)|](|)EEyEyx,zxx则：22(|)(|)(|)VaryEyEyx,zx,zx,z右边第一项为2222[(|)|](|)(|)|(|)(|)|EVaryEEyEyEyEEyx,zxx,zx,zxxx,zx右边第二项为2222[(|)|]((|)|)((|)|)((|)|)(|)VarEyEEyEEyEEyEyx,zxx,zxx,zxx,zxx所以[(|)|][(|)|]EVaryVarEyx,zxx,zx222222(|)(|)|((|)|)(|)(|)(|)EyEEyEEyEyEyEyxx,zxx,zxxxx小结：1、方差分解定理可以表述为：||xxVaryVarEyxEVaryx在方差分解定理的公式中，Vary是y的方差，也就是回归式中的总离差平方和TSS。条件期望的方差|xVarEyx是回归式中的回归平方和ESS；条件方差的期望|xEVaryx是回归的残差平方和RSS。2、依据方差分解定理，可以构造R2统计量：2|xVarEyxESSRTSSVary3、对方差分解定理进行简单的扩展，得到如下的表达式：(|)[(|,)|][(|,)|]VaryXEVaryXzXVarEyXzX(|)[(|,)|]VaryXEVaryXzX两边取期望，由迭代期望定理得到：[(|)]{[(|,)|]}[(|,)]EVaryXEEVaryXzXEVaryXz由于回归方程的总离差平方和TSS是不变的，因此，上式说明，在回归式中增加新的变量会使得可决系数增大。古典假设与最小二乘一、背景本部分开始我们正式进入计量经济学的学习。在计量经济学中，我们考察经济变量之间的相互关系，最基本的方法是回归分析。回归分析是计量经济学的主要工具，也是计量经济学理论和方法的主要内容。本部分从多元回归模型入手，对古典假设进行学习，然后就最小二乘估计法的算法、双残差回归和模型拟合优度的一些问题进行探讨。二、知识要点1、回归模型2、古典假设3、最小二乘法4、双残差回归5、方差分解和拟合优度三、要点细纲1、回归模型一般的，我们可以将回归模型写为条件期望和随机扰动项的和，即：(|)EyyX。当(|)EyX取不同的形式时，也就构成了不同的模型，包括：线性、非线性和非参数等。我们这里所学习的是线性模型(一元或多元)：[|]=EyXXβ，则总体回归方程可表示为：yXβ。其中：12(1)nnyyyy，111112122111()111jkjknnjnknkxxxxxxxxxX，011(1)kkβn表示样本数量，k表示解释变量个数（包含了常数项），当2k时就是一元线性回归模型（也称简单线性回归模型）。而12(1)Tnn表示的是随机扰动项，包含了除了解释变量以外的其他影响因素。若遗漏变量，则这个变量也将被扰动项所包含。这里有个回归和投影的概念，简单的说回归是相对总体而言，而投影是相对样本而言，线性投影总是存在的，而且是唯一的。2、古典假设在初级计量经济学中，我们可以看到对于回归模型的假设条件包括：（1）零均值，即(|)0,|0iijiEuCovxXX；（2）同方差与无自相关假定，即随机扰动项的方差2(|)nVarXI；（3）随机扰动项与解释变量不相关，即(,|)0ijiCovxX；（4）无多重共线性，即各解释变量之间线性无关，()RankkX；（5）正态性假定，即2~(0,)iN。对于线性假定，两个层面，一是指参数线性，而不是解释变量的线性。这里，某些非参数线性的模型，可以通过对解释变量和被解释变量进行一定的线性变形，可以转换为参数线性模型，比如对数线性模型、半对数线性模型、超对数线性模型等；另一是指有利于推导参数估计量的统计分布以及进行推断分析。第二，满秩性条件，它是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解，同时，此项假设在本课程的学习过程，将会在多处（特别是在某些推导过程中）涉及。第三，外生性条件，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。注意，外生性条件的不同表述方式和内涵。外生性条件的违反将影响到参数估计的一致性问题。第四，球形扰动，是指随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差和无自相关同时成立时的情况。违反此假设条件，被称为非球形扰动，将会影响到参数估计的有效性问题。第五，正态性条件，它主要与我们的统计检验和推断有关，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。在后期的学习过程中，将逐渐放宽这些假设条件，从而对于这些假定的进行深入理解。3、最小二乘法以估计的残差平方和最小的原则确定样本回归函数，称为最小二乘准则。在古典假定下的最小二乘法，也称为普通最小二乘估计（简记为OLS）。对于多元回归模型，总离差平方和S=e'e=(Y-Xβ)'(Y-Xβ)=Y'Y-β'X'Y-Y'Xβ+β'X'XβY'Y-2β'X'Y+β'X'Xβ我们的目标是使得回归的残差平方和达到最小，即：minβS则它的一阶条件为：S=-2X'Y+2X'Xββ化简得：-1X'Y=X'Xββ=(X'X)X'Y满秩以上是属于初级计量中的做法。而在本课程的学习中，，我们需要从矩条件对最小二乘进行理解。关于矩将在后面部分中详细提到，这里只是应用该知识点。由外生性条件[]0Eε|X可得：[]0TEXε从而：[][]0TTEEXεX(y-Xβ)用样本矩替代总体矩，则可以得到：10TnX(y-Xb)。所以有：111ˆ==TTnnbXXXy。4、最小二乘估计的一些性质代数性质（1）残差和等于0，即0iie；（2）回归线经过均值点，即'yXb；（3）回归的预测值的平均值等于实际值的均值，即yy。但注意这些代数性质只有在回归方程中包含了常数项下才成立。