北大大气动力学基础课件第4章  大气中的涡旋运动

第4章大气中的涡旋运动陆士嘉：“流体的本质就是涡，一搓就搓出过涡”。揭示了涡旋与切变的关系，切变不稳定就产生涡。如西南涡、在辐合带上的台风等。气象：高空波动与低空斜压流动的相互作用，气旋反气旋流体运动形态：纬向流涡旋波动。在低空主要涡旋系统。在高空，是纬向流和波状流动不断地转换北极涡街2001。6。1JanMayenIslandNASA’sMulti-angleImagingSpectroRadioLeft:NorthLenticularcloudoverMountShasta,reflectedinSiskiyouLakePhoto©2001JaneEnglish第4章大气中的涡旋运动涡度(vorticity)：流点绕自身轴的旋转涡旋(vortex)：涡度在空间有组织的系统涡度的数学描述，涡度的演变方程。涡度在空间的集中就形成涡或者涡旋.除涡度外，环流、位势涡度、散度也是与流体旋转紧密相关。§1环流定理∫∫==llVdrrdVCαcos.ˆˆ速度环流l—闭合物质链(即它们永远由相同的流点组成).l逆时针方向.C大于(小于)0,表示链上流体有沿l正(负)向运动的趋势lrdˆVˆ§1环流定理eaCCC+=()()eeeaaAAdAdrrdrrdVCrdVCΩ=⋅Ω=⋅∧Ω∧∇=⋅∧Ω=⋅=⋅=∫∫∫∫∫∫∫22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,eA---l所围面积在赤道平面上的投影。eaVVVˆˆˆ+=§1环流定理rdgpdtVdlaaˆˆˆ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇−=∫ρ1∫≡⋅0rdgˆˆrddtVdVdVrddtVdrddtdVrddtVdrdVdtdaaaaaaaaaaaaˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∫∫∫∫∫∫在物质链上对绝对动量方程积分：重力环流：加速度环流=等于环流加速度§1环流定理∫∫∫∫∫∫∫⋅=⋅∇∧∇−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇∧∇−=⋅∇−σσασρρˆˆˆˆˆdBdpdprdp11梯度力环流：pB∇∧−∇=αˆ---斜压矢量力管项(SolenoidalTerm)§1环流定理0=dtdCa正压大气：Kelvin环流定律相对环流定理（V.Bjerknes环流定理）dtdAdtdCeeΩ−=−2---科氏力环流项。物质链在行星涡度场中运动，物质链面积变化，就会在链中感生环流，这与线圈在磁场中运动，线圈面积变化，就会感生电流一样。例子：绕纬圈的物质链从高纬向低纬运动∫∫⋅+−=σˆˆdBdtdCdtdCelppΔ+ppΔ−pαααΔ−ααΔ+p∇−α∇问题讨论：①科氏力对质点不作功，为什么科氏力环流项不为零？②在等压面取一物质链，其力管项等于多少？能否就说该物质链的绝对环流守恒？为什么？§1环流定理环流定理的应用：①海陆风②全球大气环流陆ppΔ+2ppΔ+pppΔ−ααΔ+αααΔ−α∇p∇−湖暖空气上升，冷空气下沉，重心降低。位能减少，动能增加海风暖冷假定：1、太阳直射赤道2、地球不旋转3、地球表面为海水大气环流：单圈环流00N030N060三圈环流与“三风”“四带”假定：1、太阳直射赤道2、地球表面为海水3、地球旋转全球大气环流：三圈环流§2涡度和涡度方程kjivˆˆˆˆˆςηξϖ++=×∇=yuxvxwzuzvyw∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=ςηξ,,()()()kfjfirVaˆˆˆˆˆˆˆˆˆ++++=Ω+=∧Ω+∧∇=ςηξωω12绝对涡度：涡度：气象上常用绝对涡度=相对涡度+地转涡度绝对涡度的垂直分量§2涡度和涡度方程()∫∫∫∫∫=⋅∧∇=⋅AAnldAdAnVrdVωˆˆˆˆ涡度与环流的关系：()∫∫∫∫∫=⋅∧∇=⋅dAdAkVrdVlςˆˆˆˆ特别，当闭合回路取在水平面上时：此时的环流就等于通过该闭合回路所围面积上的垂直涡度通量ArdVA∫⋅=→ˆˆ0limς（垂直）涡度等于（水平面上的）单位面积上的环流。环流度量的流体运动的宏观旋转趋势，而涡度则是度量了流体质点绕自身轴旋转的趋势。气旋式涡度（逆时针旋转），反气旋式涡度（顺时钟旋转）0Mς0‡ς§2涡度和涡度方程以流线作为自然坐标系的涡度()nVRVnVsVsnsnnVnVsnsnnVVsdsVs∂∂−=∂∂−=∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−+=δδβδδδδδβδδδδδδδς曲率涡度切变涡度nnVVδ∂∂+§2涡度和涡度方程急流与涡度（切变涡度）0MnV∂∂−0‡nV∂∂−急流以北，为气旋式涡度急流以南，为气旋式涡度A区B区脊脊槽波状运动与涡度（曲率涡度）0Mς0Mς§2涡度和涡度方程涡度方程()()vvvvvvˆˆˆˆˆˆ××∇+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅∇=∇⋅2Fgpvvvtvaˆˆˆˆˆˆˆ++∇−=×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅∇+∂∂ρϖ12()()()()()vvvvvvvvaaaaaaaaˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ∇⋅−⋅∇+∇⋅=⋅∇−∇⋅−⋅∇+∇⋅=××∇ϖϖϖϖϖϖϖϖ()()FvvBvtaaaˆˆˆˆˆˆˆˆˆ×∇+⋅∇−∇⋅+=∇⋅+∂∂ϖϖϖϖ利用涡度的散度为0pB∇×−∇=αˆ---斜压项()vaˆˆ∇⋅ϖ---倾斜项vaˆˆ⋅∇−ϖ---散度项§2涡度和涡度方程Talor-Proundman定理：Proundman曾预言：均质不可压流体，如运动很缓慢，当运动趋于定常时，则运动是二维的。后来,Taylor以实验证明了Proundman的预言.1）均质：必正压0≡Bˆ0=⋅∇Vˆ()二阶小量,0,2,2≈∇⋅Ω≈Ω∧∇ωωˆˆˆˆˆˆVVa0≈∂∂tωˆ0=×∇Fˆ()0=∇⋅ΩVˆˆ2）不可压3）缓慢4）定常5）无摩擦流体运动不随旋转轴变化，即流体运动是二维的。§2涡度和涡度方程TaylorColumnsOrProundmanPillarsTaylor实验Taylor实验:在圆柱形容器里盛上流体并使容器旋转起来,当旋转角速度达一定值时,流体的运动应为二维运动。为了验证这一预言，泰勒在容器的底部放置一小柱体，并使其沿径向缓慢运动，小柱周围的流体就作绕流运动。若预言是对的，则小柱上方的流体也作绕流运动。用泰勒的话来说，预言似乎是奇怪的，他做实验时，既希望又不希望证实预言，但实验结果确确实实证明了预言§2涡度和涡度方程Hide(1976,Nature)曾假定木星上存在大地形并用Taylor柱来解释木星的大红斑，现证明是错的！§2涡度和涡度方程垂直涡度方程yxFypfuyvvxvutvFxpfvyuvxuutu+∂∂−=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=−∂∂+∂∂+∂∂ρρ11（1）（2）:)1()2(yx∂∂−∂∂()FkyvxufBkywxwvzwvthˆˆˆˆˆ×∇⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+−⋅+∂∂+∂∂+−∂∂−∇⋅−=∂∂ςηξβςςς)(§2涡度和涡度方程ς∇⋅−hvˆvβ−---相对涡度平流项。由于流体的运动和相对涡度的空间分布不均产生的。平流不产生涡度，但它使槽脊向东移动。---地转涡度平流项。由于流体的运动和地转涡度的空间分布不均产生的。它使槽脊向西倒退。hvˆI区II区00‡‡ˆtvh∂∂∇⋅−ςς00MMˆtvh∂∂∇⋅−ςς00MMtv∂∂−ςβ00‡‡tv∂∂−ςβ,Km3000‡λ,Km10000Mλ综合：东移倒退涡度方程各项的意义§2涡度和涡度方程zw∂∂−ςywxw∂∂+∂∂ηξ---涡度垂直输送项。由垂直运动和涡度的垂直分布不均产生。---涡管倾斜项。垂直速度在水平方向分布不均时，水平涡度向垂直涡度的转换涡度方程各项的意义§2涡度和涡度方程Bkˆˆ⋅()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+−yvxufyvxufζ---散度项。在行星涡度场中，散度与涡度可以相互转换。水平幅散，反气旋式涡度增加水平幅合，气旋式涡度增加---斜压项。当斜压矢量有垂直方向投影时，就会引起垂直涡度的变化。涡度方程各项的意义§2涡度和涡度方程简化：1。流体正压、水平运动、无摩擦2。流体正压、水平运动、无摩擦，无水平散度()()VffVthˆˆ⋅∇+−=+∇⋅+∂∂ζζζ()0=+fdtdζ1939年，Rossby将绝对涡度守恒应用于500hPa,建立了大气长波理论。这是动力气象学的里程碑。§3位势涡度方程()FBVVdtdaaaˆˆˆˆˆˆˆ∧∇++⋅∇−∇⋅=ωωωFBVdtddtdaaaˆˆˆˆˆˆ∧∇++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅=−ρρρωρρωωρ112FBVdtdaaˆˆˆˆ™∧∇++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ρρρωρϖ1涡度方程，动量方程的变形方程，描述流体的涡度场的时空演变，但它未能反映大气能量过程。本节的位势涡度方程，考虑大气的能量过程，描述在能量守恒的约束下涡度的演化。利用连续性方程，改写涡度方程§3位势涡度方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∇++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∇FBVdtdSaaˆˆˆˆˆρρρωρω1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∇⋅TQzSwySvxSutSa ˆρϖ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∇+∂∂∇+∂∂∇+∇⋅TQzSwySvxSuSdtdaa ˆˆρϖρωaaaadSSSSSVuvwdtxyzSBQSFTωωωρρρωρρρ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂⋅∇=∇⋅⋅∇−⋅∇+∇+∇⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦∇⋅∇⎛⎞++⋅∇+⋅∇∧⎜⎟⎝⎠rrrrrrr热力学能量方程的改写(a)(b)(a)+(b):§3位势涡度方程()0≡∇∧∇−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇∂∂+∇∂∂=⋅∇pppSSBSαααρˆ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∇+∂∂∇+∂∂∇⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅+∇⋅+∇⋅⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅∇zSwySvxSukwjviuSkwjviuSVSaaaaaaρϖρωρωρωρωρωˆ™ˆ™ˆ™ˆˆˆˆˆˆˆ注意：FSTQSdtdaaˆ ˆˆ×∇⋅∇+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅ρρϖρϖ郭晓岚广义位涡方程§3位势涡度方程0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅Sdtdaρωˆ0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∇⋅θρωadtdˆ绝热、无摩擦：Ertel(1942)位涡方程θρϖπ∇⋅=aˆ位势涡度§3位势涡度方程θρωθρζθρωπ∇⋅+∂∂+=∇⋅=ahazfˆˆszv/310−−−−∂∂KmKz106040/−−−−∂∂θs/410−0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+zfdtdθρζ0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+zfdtdθζ0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+pfdtdθζ量级分析与简化：f--;KmKx10003020/−−−−∂∂θ不可压P坐标系§3位势涡度方程例子：西风气流过山。假定山脉为南北走向，初始为均匀西风。设地面附近的等位温面与地面平行。而高空大气，受地形影响较小，等位温面几乎为水平的。1）初始：2）爬山：3）过山后：4）回到初始纬度：5）震荡：由于惯性，空气柱在平衡位置振荡。在山脉的下游形成一个大槽。00zfzfΔ=Δ+ς0000zzffΔ=Δ==,,ς00‡‡ς,zzΔΔ000M‡ς,,ffzzΔ=Δ000==Δ=Δς,,ffzz§4散度和散度方程zwyuxuV∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ˆ∫∫∫∫∫⋅∇=⋅ττdVdsnVS™™™τ∫∫⋅=⋅∇−−−−−dsnVVˆˆˆττ∫∫⋅=⋅∇→dsnVVˆˆˆ0lim散度涡度散度散度---单位体积的膨胀率奥-高公式中值定理§4散度和散度方程水平散度水平散度---单位面积的膨胀率二维奥-高公式中值定理yvxuD∂∂+∂∂=∫∫∫⋅∇=⋅ShldSVdlnV™™™SdSVVShh∫∫⋅∇=⋅∇−−−−−−ˆˆSdSVVShSh∫∫⋅∇=⋅∇→ˆˆ0lim§4散度和散度方程yxFypfuzvwyvvxvutvyFxpfvzuwyuvxuutux+∂∂−=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂++∂∂−=−∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂ρρ11::()vuJDyuxvyvxuyvxuyvyvxvyuyuxvxuxu，22222−=∂∂∂∂+∂∂∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂注意：()xbyaybxaba