北大光学讲义05多元多维结构衍射与分形光学

5.1第5章多元多维结构衍射与分形光学5.1位移－相移定理5.2有序结构一维光栅的衍射5.3光栅光谱仪闪耀光栅5.4二维周期结构的衍射5.5三维周期结构X射线晶体衍射5.6无规分布的衍射5.7分形光学——自相似结构的衍射5.8光栅自成像5.9超短光脉冲和锁模习题16道5.1位移－相移定理•概述•位移－相移定理•例题——五方孔的ℱ场ÚÚÚ概述多元结构及其衍射图样；单元分布是否规则？单元取向是否有序？▲含N个全同单元的结构类型（a）规则、有序（b）规则、无序（c）有序、无规（d）无规、无序5.2▲单细胞组织与其ℱ图样▲自相似分形结构及其ℱ图样5.3▲光栅含N个全同单元的周期结构——既“规则”，又“有序”。光栅周期d，光栅常数。单元密度1/d～100/mm，600/mm，1200/mm，有效宽度D～5cm，10cm，高达30cm，含单元总数NN＝dD～5cm×600/mm～3×1041.故刻制一块母光栅技术工艺：“高精度”、“高稳定”、“长时间”。5.4光栅类型多种（1）透射式光栅与反射式光栅（2）振幅型光栅与相位型光栅（3）一维光栅、二维光栅与三维光栅——一维晶丝、二维晶面、三维晶体衍射屏的屏函数光栅屏函数定义屏函数t~(yx,)＝),(~),(~12yxUyxU，“相位型”“微棱镜列阵”5.5一维振幅型光栅的屏函数一维光栅),(~)(~xtndxt=+L,2,1,0±±=n二维光栅),,(~),(~21yxtmdyndxt=++L,2,1,0,±±=mn),(21dd分别为),(yx方向的空间周期。位移－相移定理▲定理表述：在一个夫琅禾费衍射系统中，当图像位移时，其夫琅禾费衍射场将响应一个位移。定量关系为位移),(ooyx⇔相移),,(21δδ这里11sinθδokx−=，22sinθδoky−=▲说明与证明（1）点位移情形：点源0处→)(~θu点源ox处→)(~)(~sinθθθueuoikx⋅=′−5.6（2）图像位移情形原图像→),(~yxt衍射场),,(~21θθU位移后的图像),(~ooyyxxt−−→衍射场)sinsin(212121),(~),('~θθθθθθooyxikeUU+−⋅=,),(~)(2121δδθθ+⋅=ieU其中，相移量,sin11θδ⋅−okx＝.sin22θδ⋅−=oky▲注意（1）该定理只适用于夫琅禾费衍射场，或者说对夫琅禾费衍射而言，相移量与位移量之间是线性关系——线性相移因子。（2）证明过程中，隐含了“系统具有空不变性”——至少要求“透镜孔径足够大”。5.7例题——五方孔的ℱ场),coscos2coscos2()sinsin(~2),(~21111111121δδβαββααθθ+⋅⋅=cU或).sin3cossin3cossincossin(cos)sinsin(~4),(~21211111121λθπλθπλθπλθπββααθθaaaacU+⋅⋅⋅⋅=▲习题5.85．2有序结构一维光栅的衍射•有序结构的夫琅禾费衍射场•单元因子和结构因子•一维光栅•一维光栅强度结构因子的主要特征•一维周期结构的其他样式有序结构的ℱ场设中心单元产生的衍射场为),,(~21θθu其它单元，分别位移),,(jjjyxrr相应的相移量为),sin,sin(),(2121θθδδjjjjyxk−=于是衍射场的组成,~u,~~)(12111δδ+⋅=ieuu,~~)(22212δδ+⋅=ieuu,~~)(32313δδ+⋅=ieuuM5.9总的衍射场jNjuU~),(~1021∑−==）（θθ)(~)(1021jjiNeuδδ+−∑⋅=▲改写含N个全同单元衍射屏产生的夫琅禾费衍射场为),(~),(~),(~212121θθθθθθSuU⋅=其中u~，单元衍射因子，单元因子，形状因子。)(1021~jjiNeSδδ+−∑=，衍射场结构因子，分布因子。总之，夫琅禾费衍射场＝单元因子×结构因子.▲其意义是衍射场的主要特征分别决定于这两个因子；尤其对于光栅的衍射场，其特征中的主要方面决定于结构因子，虽然单元因子可能复杂（尚未获悉）。5.10bad+=*应用于光栅——规则排列的有序结构一维多缝光栅其单元（缝）衍射因子)(~θu∝,sinαα.sinλθπαa=其结构因子jiNjeSδθ∑==1)(~).1()1(2δδδ−+++=Niiieee结果,11)(~δδθiiNeeS−−=,sinθδkd=改写为)sinsin()(~)1(ββθβNeSNi⋅=−宗量.sin2λθπδβd==*推荐一个有用的公式.2sin2)1(2ieeiiγγγ−=−于是,sinsin11)1(βδδββ−=−−NiiiNeNee其中λθπδβsin2d==5.11▲其它孔型的一维光栅（一维晶丝）共同的结构因子：)(~1θS∝),sinsin(ββN.sin1λθπβd=故衍射强度分布函数为222121)sinsin(),(~),(ββθθθθNuI⋅=一维光栅强度结构因子的主要特征▲衍射强度公式),(~)(~)(~θθθSuU⋅=22~~)(suI⋅=θ220)sinsin()sin(ββααNi⋅=强度单元因子强度结构因子“单缝衍射因子”，“缝间干涉因子”0i——单元衍射零级（象点）光强。5.12▲强度分布曲线和照片5.13▲2)sinsin(ββN主要特征，.sinλθπβd=（1）主极强位置（方位角）当λθkdk=⋅sin，L,2,1,0±±=k有πβk=致22)sinsin(NN=ββ，极大（2）此时)()(2kkiNIθθ⋅=即N2倍于单缝衍射在该处的强度。（3）主极强的半角宽度（体现“锐度”）其左右第一暗点方位角)(θθ∆±k满足,)1()sin(λθθNkdk+=∆±⋅即,cosNdkλθθ=∆⋅有,coskNdθλθ=∆或,coskDθλθ=∆（4）相邻主极强之间，有)1(−N个暗点；)2(−N个次极强。5.14（5）单元因子20)sin(ααi的作用•影响主极强峰值（高度）——决定光功率在各主极强之间的分配；但不影响主极强的位置与半角宽度。•某些情况下，可能出现“缺级”。,sinλθkdk=⋅（k级主极强位置）.,'sinλθkak′=⋅（单缝零点位置）.当kkθθ′=时，k级主极强“缺”——落到了第k′零点。例如，当,3=ad则缺“3级、6级、9级”；例如，当,235.1==ad则缺“3级”——落在第二个零点；缺“6级”——落在第四个零点。总之，当nmad=简约整数比，则第m级、2m级、K“缺”。不过，在光栅场合，“缺级”现象无多大实际价值。5.155．3光栅光谱仪闪耀光栅•光栅分光原理　•光栅光谱仪性能指标　•闪耀光栅光栅分光原理▲来自结构因子（元间干涉因子）,)sinsin(2ββN的两个主要特点是λθkdk=sin（1）kkDθλθcos=∆（2）据（1），不同波长的同级主极强，出现于不同的方位角——形成光谱。*注意到“零级无色散”。5.16▲色散型光谱仪核心元件光栅或棱镜，整机含：入射狭缝，出射狭缝，光路转换（产生、接收平行光），转动鼓轮，读数系统，输出响应——光电记录或胶片摄谱。光谱仪用于分析光谱、显示光谱，“摄谱仪”；用于挑选波长、“单色仪”。*注意到光谱仪中用于“转换光路”的元件均选“反射镜”，因为（1）反射无色散（2）缩短整机尺寸5.17光栅光谱仪性能指标▲角色散本领λ，kθ；λ′，kθ′，即,λλδλ−′=,kkθθδθ−′=定义.δλδθθ=D（度/Å）k级、波长λ附近，单位波长差响应的角间隔。据,sinλθkdk=有δλδθθkdk=cos，得,coskdKDθθ=可见d，θD；θD与N数无关。*数量级——设d1～800/mm,波段λ～600nm，对1级谱，,1cos1≈θ有θD～3.0′/Å.5.18▲线色散本领摄谱仪，直接关心的是线色散——涉及记录介质的空间分辨率。定义,δλδlDl=（mm/Å）由图可见，lδ～δθ⋅f，得.coskldKffDDθθ=≈*数量级——设d1～800/mm,λ～600nm，f～103mm，对1级谱，1cos1≈θ,有1.0≈lD（mm/Å）.习惯上喜欢表达为10Å/mm。例如，这台光谱仪作为单色仪，出射狭缝宽度,1.0mms=δ则其单色线宽λ∆～1Å。5.19▲色分辨本领可分辨的昀小波长间隔mδλ，不仅与峰值（两个）角间隔有关，也与峰值自身的角宽度θ∆有关。瑞利判据：令θδθ∆＝，而δλθδλδθθkdKDcos=⋅＝，kNdθλθcos=∆，于是KNmλδλ=，定义，色分辨本领,mRδλλ=得KNR=.可见，N，R；R与d无关。5.20*数量级——设D～10cm，1/d～600/mm，有N＝6×104，对于1级光谱，4106×≈R，若分析波段在λ～600nm附近，则Rmλδλ≈～nm210−，0.1Å.这当然远不如FP分光仪精细，但光栅光谱仪的“量程大”，适于测定“宽谱线轮廓”。▲选择使用光栅（备件）的两条原则（1）三个性能指标θD、lD、R，各有独立功能，设计与使用时要调配适当。“大光栅”配“长焦距”。（2）满足λd，否则（λ≤d）据λθ=1sind（1序），1sin1θ??得“费解”——无远场光谱，“隐失波”。例如：红外，长波λ，d更大，θD本领不高。而“傅里叶变换光谱仪”无此限制。5.21闪耀光栅▲透射式多缝光栅的缺点（两条）（1）有多序光谱，既分散能量，又限制“量程”。（2）各单元“衍射零级”之间等光程，因而，该方向成为元间“干涉零级”——它总是无色散——又是一个“能量浪费”。▲设法只产生一序光谱；分离“单元衍射零级”与“元间干涉零级”。闪耀光栅可为之。有两种照明方式。（1）入射光束⊥光栅宏观平面可见，沿单元零级方向，相邻单元间的光程差bdLθ2sin0⋅=∆，bθ，闪耀角。5.22于是⎩⎨⎧=⋅bbbd2122sinλλθ即以b1λ为居中的一段光谱,展开在2bθ方向的两侧。（2）入射光束⊥单元微观槽面各单元零级衍射方向，其相邻光程差,sin20bdLθ=′∆于是⎪⎩⎪⎨⎧=,2,sin22'1'bbbdλλθ▲昀后说明闪耀光栅仅有1序光谱，这是因为ad≈，致使其它主极强被埋没——与单元衍射因子的“零点”相遇，包括元间干涉0级也是如此。▲上述分析并没有展现)(θI表达式。——始终关注单元衍射0级怎样造成元间干涉某一非零级；——基于多缝光栅而引入的θD、lD，R概念同样地适用于闪耀光栅。，1级闪耀波长；，2级闪耀波长。1级闪耀波长2级闪耀波长5.23▲闪耀光栅衍射强度)(θI曲线▲透射式闪耀光栅——微棱镜列阵小角棱镜的偏向角，αθ)1(0−≈n，单元衍射0级方向，其相邻光程差00sinθ⋅=∆dL.5.245.4二维周期结构的衍射•二维周期结构•二维晶片的夫琅禾费衍射场•例题——二维晶片的共面衍射二维周期二维晶片的ℱ场（1）原始单元：矩孔，其单元衍射因子为222110221)sinsin(~),(ααααθθ⋅==iui，沿x方向作周期性位移，形成“排孔”，其衍射结构因子21112)sinsin(~ββNSx=；（2）以“排孔”为次级单元，沿y方向作周期性位移，形成二维网格，其衍射结构因子22222)sinsin(~ββNSy=，这里λθπβ111sind=，λθπβ222sind=；5.25（3）昀后，获得二维光栅夫琅禾费衍射场强度分布公式222121~~),(),(yxSSiI⋅=θθθθ⋅=),(21θθi22222111)sinsin()sinsin(ββββNN⋅.其中，22121),(~),(θθθθui=.“单元衍射因子”，由原始单元的形貌（formphase）决定，u~□、u~∆、u~o、K.*单元编组的思想——方法与程序视情况，逐次形成1级单元、2级单元、K，再应用“相移定理”，求得总场U~。▲再举一例——Rowlandghostlines(参见习题5.16)“小尺度短周期”，“大尺度长周期”。复式周期5.26▲二维正交网格ℱ图样（照片）(a)Anorderedarrayofrec