北大光学讲义06傅里叶变换光学与相因子分析方法

6.1第6章傅里叶变换光学与相因子分析方法6.1衍射系统波前变换6.2相位衍射元件——透镜和棱镜6.3波前相因子分析法6.4余弦光栅的衍射场6.5夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换6.6超精细结构的衍射——隐失波6.7阿贝成像原理与空间滤波实验6.8光学信息处理列举6.9泽尼克的相衬法6.10相位物可视化的其他光学方法6.11夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置6.12傅里叶变换和δ函数6.13准确获得物频谱的三种系统习题21道6.1衍射系统波前变换•引言•衍射系统及其三个波前•衍射屏函数及其三种类型•例题——两个衍射屏相叠•什么是衍射引言经典波动光学现代变换光学光学信息处理6.2衍射光学现代发展概貌图6.3衍射系统▲系统的划分▲关注三个场分布入射场),(~1yxU，出射场),(~2yxU，衍射场),(~yxU′′.▲波前变换概念波前),(~1yxU→),(~2yxU，这是衍射屏的作用；波前),(~2yxU→),(~yxU′′，这是波的传播行为——由HFK理论给出，常见，傍轴情况∫∫⋅−≈′′dxdyeyxUriyxUikr),(~),(~20λ.6.4衍射屏函数),(12),(),(~),(~),(~yxieyxtyxUyxUyxtϕ⋅==▲唯象看，三种类型。振幅型——仅),(yxt，而ϕ与),(yx无关；相位型——仅),(yxϕ，而t与),(yx无关；相幅型——有),(yxt，且),(yxϕ，一般情况。▲于是，衍射场∫∫⋅⋅−≈′′dxdyeyxUyxtriyxUikr),(~),(~),(~10λ≠∫∫⋅−dxdyeyxUriikr),(~10λ，自由传播场什么是波的衍射▲形成对波衍射的普遍表述先前，曾有过关于“什么是波衍射”的两种说法：（参见书278页）现在，可以这样表述：当光波在传播中，由于某种因素，使其波前振幅分布或相位分布发生变化，则其后场不同于自由传播场——发生衍射。这是对“衍射现象因果关系”普遍概括。▲两个衍射屏相叠其屏函数21~~),(~ttyxt⋅=，相乘▲定义6.56.2相位衍射元件——透镜与棱镜•透镜的相位变换函数•例题1——导出薄透镜焦距公式•例题2——导出薄透镜傍轴成像公式•棱镜的相位变换函数•例题3——导出棱镜傍轴成像公式•窗函数透镜的相位变换函数▲在成像系统中，透镜有两个作用（1）限制波前，（2）变换波前——改变聚散中心。统一地，由其屏函数予以描述，),(1),(212),(),(yxiyxieyxAeyxAϕϕ⋅⋅，（瞳内）；0，（瞳外）.近似条件——忽略反射、吸收损耗，112≈AA，于是，瞳内)),(),((12),(~yxyxiLeyxtϕϕ−≈——纯相位型屏函数=),(~yxt6.6▲导出),(~yxtL近似条件：薄透镜、且傍轴，有入射点),(yxP与出射点),(yxQ，坐标相近，“等高出射”；)(PQL可近似地沿‖光轴计算：),(),(),()(21yxyxndyxPQL∆++∆=.其中，12212)(),(ryxyx+≈∆，22222222)()(2)(),(ryxryxyx+−=−+≈∆.注意，1r、2r自身含正负号，改写)(210∆−∆−=dnnd)(210∆+∆−=nnd，于是))(1(),(210∆+∆−−=nndyxL，透镜参量),,(201rndr6.7得相位变换函数),(),(),(12yxkLyxyx=−ϕϕ)11(2)1())(1(2122210rryxnknk−+−−=∆+∆−−=ϕ.(00knd=ϕ，与),(yx无关，略而不写)最后，薄透镜作为相位元件其相位屏函数为FyxikLet222~+−=，缩写符合)11)(1(121rrnF−−=.▲可见（1）薄透镜的相位变换函数具有“二次相因子”。（2）在理论分析时，若存在“二次相因子”的变换函数，则其作用等效于一个薄透镜，——对被作用的波前起聚散作用。例题1当平行光正入射于透镜，求出射光的波前函数及其特征。解入射光11),(~AyxU=，出射光FyxikLeAUtyxU211222~~),(~+−=⋅＝，这是什么波？傍轴球面波——聚散中心),0,0(F即焦距为121)11)(1(−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=rrnF，可正可负。0F，会聚透镜；0F，发散透镜。6.8例题2试用透镜Lt~导出傍轴成像公式。解发散球面波入射，其波前函数为SyxikeAyxU21122),(~+≈，于是出射波前为12~~),(~UtyxUL⋅=SyxikFyxikeeA2212222++−⋅≈SyxikeA′+−=2122，其中，缩写SFS111−=′.2~U表达式表明，它代表一列会聚球面波，聚（散）中心在),0,0(S′——S′具有像距的意义。即薄透镜傍轴成像、物像距之关系为FSS111=′+.6.9棱镜的相位变换函数Pt~在光学系统中，棱镜起偏转作用——改变光束的传播方向。可以预测其Pt~具有线性相因子（推导从略），其结果为（1）xnikPeyxt⋅−−≈α)1(),(~，（特殊）（2）))(1(21),(~yxnikPeyxtαα+−−≈，其中，),(21αα是界面法线方向Nr的两个方向余弦角的余角。可见，若某种场合出现具有线性相因子的变换函数,则其作用等效于一个棱镜——“偏转元件”。特殊方位一般方位6.10例题3物点Q向棱镜发射一傍轴球面波，求通过棱镜后的波场特性。解出射波前为SyxikxnikPeeAUtyxU2)1(11222~~),(~+−−⋅=⋅=α⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+=SxsnSyxikeAα)1(2122－，这表明它是一列轴外发散球面波，其中心位置Q′，坐标为αsnx)1(−=′，0=′y，sz=′.显然，这种处理方式较之几何光学方法（两条光线、两次折射），要简捷得多！6.11▲有趣的事——改写2~U两个因子的前后位置，xnikSyxikeAeyxUα)1(12222),(~−−+⋅=这相当于焦距为)(S−的发散透镜，作用于向下斜入射的平面波，最终成为一列发散球面波。可见，照明的球面波，在某种场合，可以起一个透镜的作用。元件“变换”波函数6.126.3波前相因子分析方法•相因子分析法概述•波前相因子和变换相因子•余弦型环状波带片的衍射场•高斯光束经透镜的变换相因子分析法概述（参见书283页）要熟悉两类相因子（Phasefactor）(1)波前函数的相因子：平面波前与球面波前——系可供选择的两种基元成分。(2)变换函数的相因子：透镜与棱镜——系两种基本的变换元件。▲相因子判断法大意根据波前相因子，来判断由此波前所决定的波场的类型和特征；根据变换相因子，来判断此变换函数的主要功能，它等效于一种什么光学元件。▲说明上一节几个简朴实例已经体现该方法基本思想、分析程序及其优越性。不过，未涉及瞳外0~=t的后果。(1)掌握“波场主要特征”，不及“细节”。(2)某些场合，例如“全息再现”场合，掌握“主要特征”就解决问题了。6.13余弦型环状波带片的衍射场（参见书284-285页）高斯光束经透镜的变换（详见书285-287页）据考虑到ωω=′，rFr111−=′，于是像方的腰粗与腰距被表达为2122420)1(−′′+′=′rλωπωω14222)1(−′′+′=′ωπλrrz→),(0zωωrLt~ω′r′),(0z′′ω腰腰6.146.4余弦光栅的衍射场•余弦光栅的屏函数和制备•余弦光栅的衍射特性•余弦光栅的组合•释疑——余弦光栅衍射的实数处理其屏函数和制备▲空间频率概念(1)二维性空间周期),(yxdd，空间频率)1,1(),(yxyxddff=(2)有正负如上图，取向一、三象限，0xyff；取向二、四象限，0xyff.(3)光学中，二维平面上的空间周期性，常指光强),(yxI分布，或复振幅),(~yxU分布。6.15后者典型一例——平面波前函数)sin(sin21),(~yxikAeyxU⋅+⋅=θθ，可见，其空间角频率为)sin,sin(),(21θθkkPPyx=其空间频率为)sin,sin(),(21λθλθ=yxff.▲正弦光栅定义为其复振幅透过率函数——屏函数具有以下形式，)2cos(),(~010ϕπ++=fxttyxt，（典型）一般，)22cos(),(~010ϕππ+++=yfxfttyxtyx.6.16▲制备——两束平行光干涉记录；线性洗印。双光束干涉强度分布为))2cos(1(),(00ϕπγ++=fxIyxIλθθ21sinsin1+==df.“暗室”线性洗印，以获得),(),(yxIyxt∝，写成),(),(yxIyxtβα+=)2cos(010ϕπ++fxtt＝，由“光密度计”鉴测。其中0β，正片；0β，负片。α雾底，系0=I时底片的振幅透过率。这里涉及“光化学”——记录介质乳胶特性研究。6.17余弦光栅的衍射特征这表明，经正弦光栅，后场主要成分是三列平面衍射波。▲理论说明——波长λ平行光正入射出射场12~~),(~UtyxU⋅=110)2cos(Afxttπ+=，（设00=ϕ）fxifxietAetAtAππ211211012121−++=110~~~−+++=UUU，其中010),(~tAyxU=——正出射平面衍射波；xfikfxietAetAyxU)(1121112121),(~λπ==+——斜出射平面衍射波，其方向角满足λθf=+1sin；6.18xfikfxietAetAyxU)(1121112121),(~λπ−−−==——又一列斜出射平面衍射波，方向角λθf−=−1sin.我们运用“相因子判断法”十分简洁地揭示了余弦光栅的衍射特征——三个衍射斑。更具意义的是衍射斑的光学特征反映了余弦光栅作为一种典型结构的特征。▲特征表其中最重要的一点是其1±级衍射斑的角方位与余弦光栅的空间频率一一对应：λθf±=±1sin6.19余弦光栅的组合（1）平行密接1G：xfttxt11012cos)(π+=，（高频）2G：xfttxt22022cos)(π+=′，（低频）组合21GG⋅：ttxt′⋅=)(12（注意“相乘”）xftttt110202012cosπ+⋅=xftt22012cosπ+xfftt)(2cos212121++πxfftt)(2cos212121−+π共有9个衍射斑，分布于x′轴上，方向角分别为0sin=θ，λ1f±，λ2f±，λ)(21ff−±和λ)(21ff+±.6.20（2）正交密接1G：)2cos()(1101xfttxtπ+=，（高频）2G：)2cos()(2202yfttytπ+=′，（低频）组合21GG⋅：)()(),(12ytxtyxt′⋅=谱斑•No0201tt⋅＝)0(xftt11022cosπ+)2()1(、yftt22012cosπ+)4()3(、)(2cos212121yfxftt++π)6()5(、)(2cos212121yfxftt−+π)8()7(、普遍表示谱斑衍射角)sin,(sin21θθ与空间频率),(yxff之关系),()sin,(sin21λλθθyxff±=.6.21(3)光栅之和（符合光栅）设某光栅xftxfttxt221102cos2cos)(~ππ++=，其衍射场主要特征有5个谱斑基频1fλθ11sinf±=±,倍频2fλθ21sinf±=′±,还有0t0sin0=θ.这种光栅怎么来？理论上来自周期结构的Fourier级数展开，其中每个ℱ氏成分，便是一个“余弦光栅”。实验上，可采取“二次曝光”以获之。释疑——余弦光栅衍射的实数处理(参见书292页)。6.226.5夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换•任意栅函数的傅里叶级数展开•例题——矩形光栅衍射场的傅里叶分析•傅里叶光学的基本思想•约瑟夫•傅里叶任意栅函数的傅氏级数展开▲以一维空间周期函数为基础)(~)(~Ndxtxt+=，L,2,1,0±±=N其ℱ氏级数展开式，有三种形式可供选用。(1)余弦正弦式∑∑++=0002sin2cos)(~nnnnnnxfbxfatxtππ∫−⋅=222cos)(~2ddnnxdxfxtdaπ，∫−⋅=