北大2006级物理学院力学期末考试试题及参考答案

12006级物理学院力学期末考试学号：_________________姓名：__________________院系：_________________试卷总分：100分答卷时间：2小时一二三题号1-1011-1415161718总分得分一、填空（每空2分，共40分）1、各边长为a、质量为M的匀质刚性正方形细框架，开始时静止在光滑水平大桌面上，框架右侧边中央有一小孔P，桌面上另有一个质量为m的小球以初速0vv从小孔P外射入。设0vv的方向如图所示，小球与框架碰撞无摩擦且为弹性。小球在框架内经过时间t=，又从小孔P射出，过程中{框架，小球}系统的质心C通过的位移量Csv=。2、质量m、直角边长分别为a、a3的匀质直角三角板ABC，如图所示，其中D为斜边AC的中点。分别设置过A、B、C、D点且与板面垂直的四个转轴，三角板相应的转动惯量分别记为IA、IB、IC、ID，则ID=。余下的IA、IB、IC中最小者为（填IA、IB或IC）。3、粘滞系数为η，流速为v的流体，η越大，其雷诺数越；v越大,其雷诺数越。4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为r的球体，在空气中下落时略去空气浮力，所受空气粘性阻力(空气粘度记为η)可按斯托克斯公式计aaaMm0vv450PABCDmaa32算，则雨珠下落的终极速度ve=。5、在光滑的水平地面上，质量分别为2m和m的小球B和C间用一根劲度系数为k的均匀轻长弹簧连接，开始时B、C静止，弹簧处于自由长度状态。如图所示，使B具有朝着C的初速度v0，在{B、C、弹簧}系统质心系中，B、C都将相对质心作简谐振动，振动角频率ω=；B相对质心振动的振幅A=。6、阻尼振动的微分方程为0220=++xxxωβ&&&，形成低阻尼振动的条件是，对应的通解为x=，其中220βωω−=。7、同频率、同振动方向、振幅同为A、波长同为λ的两列行波，相向传播时可形成驻波。驻波波腹处振动的振幅为，波腹与其相邻的波节之间的距离为。8、设波源S在介质中的运动速度为vS，波在介质中的传播速度为u。如果uvS，在S正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频率ν与波源S振动频率ν0之间的关系为ν=。如果uvS，波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波，锥面半顶角（即马赫角）θ满足关系式。9、如图所示，各边静长为L的正方形面板ABCD，在惯性系S的xy坐标面上以匀速度v沿x轴运动。运动过程中AB边和BC边各点均朝x轴连续发光，在S系中各点发光方向均与y轴平行。这些光在x轴上照亮出一条随着面板运动的轨迹线段，它的长度l=L。若改取AB边静长为L′，BC边静长仍为L的长方形面板，当v=0.6c时，x轴上运动的轨迹线段长度恰好等于L，那么必有L′=L。10、静质量为m0的物体密度为常量ρ0，当平动加速到其动能为静能的n倍时，速度v=c，它的密度ρ=ρ0。BC2mmkv0ABCDvyxOS系3二、简答（每题5分，共20分）11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点O的角动量定理，并简述导出过程。12、写出复摆能量守恒方程，导出复摆摆动的动力学微分方程，给出小角度复摆的摆动周期公式。13、弹性介质中纵波的运动方程设为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=)(cosuxtAωξ，ρ/Eu=，E：介质杨氏模量，ρ：介质密度据此导出波的能量密度表达式。14、由ldFdWvv⋅=，dtumdF)(vv=和2201cumm−=，导出质点的相对论动能定理，其中kdEdW=，202cmmcEk−=4三、计算(每题10分，共40分)15、质点同时参与的三个同方向、同频率简谐振动分别为tAxtAxtAxωωπωsin23,cos23),4cos(030201==+=试用简谐振动的矢量图示方法，确定质点的合振动。16、水平地面上一个截面积为S0的敞口桶内盛有高h1+h2的水，桶的侧面有一个截面积S=0.01S0的小孔，孔与水面相距h1，如图所示。（1）试求从小孔开始出水到小孔停止出水所经时间t；（2）小孔刚射出的水，落地时的水平射程记为S1，如果将小孔改取在原水面下方h2处，对应的初始水平射程记为S2，试求12SSS−=Δ。S0h1h2S1S517、系统的俯视图与侧视图如图1、图2所示，若能处于图2所示稳定的匀加速纯滚动状态，在mM2=的条件下，试求缠绕在圆柱体上的轻绳与水平导轨间的夹角θ。•θM、R水平导轨图2图1轻绳重物匀质圆柱体水平导轨618惯性系S中有两个静质量同为m0的质点A、B，它们的速度分别沿x、y方向，速度大小分别为0.6c、0.8c。某时刻质点A位于xy平面上的P处，质点B也在xy平面上，如图所示。（1）S系认定再过st5=Δ，A和B会相碰，试问A认为还需经多长时间ΔtA与B相碰？（2）A认为自己位于S系P处时，质点B与其相距l，试求l；（3）设A、B相碰后粘连，且无任何形式能量耗散，试在S系中计算粘连体的静质量M0。ABPyxOS系0.6c0.8c12006级物理学院力学期末考试学号：_________________姓名：__________________院系：_________________试卷总分：100分答卷时间：2小时一二三题号1-1011-1415161718总分得分一、填空（每空2分，共40分）1、各边长为a、质量为M的匀质刚性正方形细框架，开始时静止在光滑水平大桌面上，框架右侧边中央有一小孔P，桌面上另有一个质量为m的小球以初速0vv从小孔P外射入。设0vv的方向如图所示，小球与框架碰撞无摩擦且为弹性。小球在框架内经过时间t=022va，又从小孔P射出，过程中{框架，小球}系统的质心C通过的位移量Csv=0022vvaMmmr+(或0vMmmtr+⋅)。2、质量m、直角边长分别为a、a3的匀质直角三角板ABC，如图所示，其中D为斜边AC的中点。分别设置过A、B、C、D点且与板面垂直的四个转轴，三角板相应的转动惯量分别记为IA、IB、IC、ID，则ID=231ma。余下的IA、IB、IC中最小者为BI（填IA、IB或IC）。3、粘滞系数为η，流速为v的流体，η越大，其雷诺数越小；v越大,aaaMm0vv450PABCDmaa32其雷诺数越大。4、密度记为ρ的小雨珠可近似成半径为r的球体，在空气中下落时略去空气浮力，所受空气粘性阻力(空气粘度记为η)可按斯托克斯公式vrηπ6计算，则雨珠下落的终极速度ve=ηρ922gr。5、在光滑的水平地面上，质量分别为2m和m的小球B和C间用一根劲度系数为k的均匀轻长弹簧连接，开始时B、C静止，弹簧处于自由长度状态。如图所示，使B具有朝着C的初速度v0，在{B、C、弹簧}系统质心系中，B、C都将相对质心作简谐振动，振动角频率ω=mk23；B相对质心振动的振幅A=kmv3230。6、阻尼振动的微分方程为0220=++xxxωβ&&&，形成低阻尼振动的条件是0ωβ，对应的通解为x=)cos(φωβ+−tAet，其中220βωω−=。7、同频率、同振动方向、振幅同为A、波长同为λ的两列行波，相向传播时可形成驻波。驻波波腹处振动的振幅为2A，波腹与其相邻的波节之间的距离为4λ。8、设波源S在介质中的运动速度为vS，波在介质中的传播速度为u。如果uvS，在S正前方一个相对介质静止的观察者接收到的波的振动频率ν与波源S振动频率ν0之间的关系为ν=0νSvuu−。如果uvS，波源的运动会在介质中激起圆锥面形的冲击波，锥面半顶角9、如图所示，各边静长为L的正方形面板ABCD，在惯性系S的xy坐标面上以匀速度v沿x轴运动。运动过程中AB边和BC边各点均朝x轴连续发光，在S系中各点发光方向均与y轴平行。这些光在x轴上照亮出一条随着面板运动的轨迹线段，它的长度BC2mmkv0ABCDvyxOS系3crvorvCOiicrviorvor′vl=,12ββ+−cv=βL。若改取AB边静长为L′，BC边静长仍为L的长方形面板，当v=0.6c时，x轴上运动的轨迹线段长度恰好等于L，那么必有L′=31)11(2=−−ββL。10、静质量为m0的物体密度为常量ρ0，当平动加速到其动能为静能的n倍时，速度v=1)2(++nnnc，它的密度ρ=()21+nρ0。二、简答（每题5分，共20分）11、写出质点系在其质心参考系中相对任一参考点O的角动量定理，并简述导出过程。cocodJMrFrFdt′′′=×−×vvvv外外＋()()iiiiiiccJiioioiicoioiicicioiccoiiccoiicomrvmrrvmrvmrvJrmvdJdJrmadtdtMrFF′′′×′′′=−×′′′′=×−×′′=−×′′′⇒=−×′=×∑∑∑∑∑∑vvvvvvvvvvvvvvvv外外＝－－12、写出复摆能量守恒方程，导出复摆摆动的动力学微分方程，给出小角度复摆的摆动周期公式。()211cosco2cmgrInstθω−+=两边求导：sin0dIdtωωθω+=cmgr2222cos002cccdImgrdtmgrddtIITmgrωθωωωπ⇒+=⇒+=⇒=413、弹性介质中纵波的运动方程设为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=)(cosuxtAωξ，ρ/Eu=，E：介质杨氏模量，ρ：介质密度据此导出波的能量密度表达式。解：考虑微元：截面积dS，长度dx，动能为：dxdSuxtAtdxdSdEK⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂⋅=ωρωξρ2222sin21)(21势能为()()[]dxdSuxtAdxdSuxtAuEdxxdxEdStxtdxxkdEdxP⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅∂∂=−+=ωρωωωξξξ222222222sin21sin2121,,21能量密度⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+=uxtAdVdEdEKPωρωε222sin)(14、由ldFdWvv⋅=，dtumdF)(vv=和2201cumm−=，导出质点的相对论动能定理，其中kdEdW=，202cmmcEk−=22mvdvdmcv=−2222222kcmvdvmvvdEcdmmvdvdvcvcv⇒===+−−()()()()22mvdvvdmmvdvvdmmdvvdmvvdmvdmvdrdmvdrFdrdtdt=+=⋅+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅vvvvvvvvvvvvv51Ar2Ar45oϕα45o23ArArx3Ar三、计算(每题10分，共40分)15、质点同时参与的三个同方向、同频率简谐振动分别为tAxtAxtAxωωπωsin23,cos23),4cos(030201==+=试用简谐振动的矢量图示方法，确定质点的合振动。解：1x，2x，3x各自对应矢量1Ar，2Ar，3Ar。合振动：3223xxx+=对应矢量3223AAArvr+=的方位如图示：模量为：02322233AAAA=+=质点合振动321xxxx++=对应矢量：321AAAArrrr++=其模量以及与x轴的夹角分别为：0223212AAAA=+=，1215)arctan(4545023100παφ==−=−=AA得：)12cos(2)cos(0πωφω−=−=tAtAx16、水平地面上一个截面积为S0的敞口桶内盛有高h1+h2的水，桶的侧面有一个截面积S=0.01S0的小孔，孔与水面相距h1，如图所示。（1）试求从小孔开始出水到小孔停止出水所经时间t；（2）小孔刚射出的水，落地时的水平射程记为S1，如果将小孔改取在原水面下方h2处，对应的初始水平射程记为S2，试求12SSS−=Δ。解：（1）t时刻水面与小孔距离记为h，小孔流速2vgh=dt时间出水量S0h1h2S1S62dvvSdtghSdt==dt时间h的减少量002SdhdvSghdtS−==积分10002thSdhdtghh=−∫∫得01112220010022ShhthgggS===(2)2111122221222,2hhSvhhSvhhgg====120SSS⇒Δ=−=17、系统的俯视图与侧视图如图1、图2所示，若能处于图2所示稳定的匀加速纯滚动状态，在mM2=的条件下，试求缠绕在圆柱体上